Frobenius Manifolds: Quantum Cohomology and Singularities

منیفولدهای فروبنیوس منیفولدهای پیچیده ای هستند که دارای ضرب و متریک بر روی دسته مماس هولومورف هستند که چندین شرایط طبیعی را برآورده می کنند. این مفهوم در سال 1991 توسط دوبروین با انگیزه نتایج فیزیک تعریف شد. منبع دیگر منیفولدهای فروبنیوس نظریه تکینگی است. دوگانگی بین نظریه‌های ریسمان پشت پدیده تقارن آینه‌ای نهفته است. یک فرمول ریاضی را می توان از نظر ایزومورفیسم منیفولدهای فروبنیوس خاص ارائه داد. منبع سوم منیفولدهای فروبنیوس توسط سیستم‌های ادغام‌پذیر، به‌طور دقیق‌تر، سلسله مراتب بیهامیلتونی PDEهای تکاملی ارائه شده است. همانطور که در مورد همومولوژی کوانتومی، در اینجا منیفولدهای فروبنیوس بخشی از یک ساختار پیشینی بسیار غنی‌تر هستند، که به دلیل محدودیت‌های قوی، می‌توان به طور ضمنی توسط منیفولدهای فروبنیوس زیرین تعیین کرد. هم‌شناسی کوانتومی، نظریه منیفولدهای فروبنیوس و روابط با سیستم‌های ادغام‌پذیر از اوایل دهه 90 در حال رشد هستند. فعالیتی در مؤسسه ریاضیات Max-Planck در سال 2002 با هدف گرد هم آوردن کارشناسان اصلی در این زمینه ها سازماندهی شد. این جلد از این فعالیت سرچشمه می گیرد و وضعیت هنر در موضوع را ارائه می دهد.

Frobenius manifolds are complex manifolds with a multiplication and a metric on the holomorphic tangent bundle, which satisfy several natural conditions. This notion was defined in 1991 by Dubrovin, motivated by physics results. Another source of Frobenius manifolds is singularity theory. Duality between string theories lies behind the phenomenon of mirror symmetry. One mathematical formulation can be given in terms of the isomorphism of certain Frobenius manifolds. A third source of Frobenius manifolds is given by integrable systems, more precisely, bihamiltonian hierarchies of evolutionary PDE's. As in the case of quantum cohomology, here Frobenius manifolds are part of an a priori much richer structure, which, because of strong constraints, can be determined implicitly by the underlying Frobenius manifolds. Quantum cohomology, the theory of Frobenius manifolds and the relations to integrable systems are flourishing areas since the early 90's. An activity was organized at the Max-Planck-Institute for Mathematics in 2002, with the purpose of bringing together the main experts in these areas. This volume originates from this activity and presents the state of the art in the subject.