Fractals and Hyperspaces

این کتاب خطاب به همه خوانندگانی که به فراکتال‌ها، فرافضاها، نظریه نقطه ثابت، کاشی‌کاری‌ها و تحلیل‌های غیراستاندارد علاقه دارند، موضوع خود را به شیوه‌ای بدیع و در دسترس همراه با ارقام بسیار ارائه می‌کند. بخش اول کتاب، نظریه فرافضای خاصی را در مورد متریک هاسدورف و توپولوژی ویتوریس، به عنوان پایه‌ای برای آنچه در زیر در مورد خود تشابهی و شکستگی می‌آید، توسعه می‌دهد. یکی از ویژگی های اصلی این است که تجزیه و تحلیل غیر استاندارد برای به دست آوردن شواهد جدید برخی از نتایج شناخته شده بسیار نرم تر از قبل استفاده می شود. تئوری مجموعه‌های ثابت J.E. هاچینسون (مجموعه‌هایی که از تصاویر کوچک‌تری از خودشان تشکیل شده‌اند) با مطالعه زمانی که چنین مجموعه‌ای توسط تصاویرش کاشی‌کاری می‌شود و دسته‌بندی بسیاری از مجموعه‌های ثابت به‌عنوان منظم یا باقی‌مانده توسعه یافته است. آخرین و اصلی ترین بخش کتاب مفهوم \"نما\" را به عنوان بخشی از چارچوبی برای مطالعه ساختار مجموعه ها در یک فضای معین معرفی می کند. این منجر به مفاهیم جدید و ظریف (که صرفاً از نظر توپولوژیکی تعریف می شود) از شباهت خود و کسری می شود: به ویژه، نویسنده نشان می دهد که بسیاری از مجموعه های ثابت «بصری فراکتال» هستند، یعنی جزئیات بی نهایت به معنای خاصی دارند. این ایده ها دامنه قابل توجهی برای توسعه بیشتر دارند و فهرستی از مشکلات و خطوط تحقیقاتی در آن گنجانده شده است.

Addressed to all readers with an interest in fractals, hyperspaces, fixed-point theory, tilings and nonstandard analysis, this book presents its subject in an original and accessible way complete with many figures. The first part of the book develops certain hyperspace theory concerning the Hausdorff metric and the Vietoris topology, as a foundation for what follows on self-similarity and fractality. A major feature is that nonstandard analysis is used to obtain new proofs of some known results much more slickly than before. The theory of J.E. Hutchinson's invariant sets (sets composed of smaller images of themselves) is developed, with a study of when such a set is tiled by its images and a classification of many invariant sets as either regular or residual. The last and most original part of the book introduces the notion of a "view" as part of a framework for studying the structure of sets within a given space. This leads to new, elegant concepts (defined purely topologically) of self-similarity and fractality: in particular, the author shows that many invariant sets are "visually fractal", i.e. have infinite detail in a certain sense. These ideas have considerable scope for further development, and a list of problems and lines of research is included.