Fractal Geometry and Analysis

این ASI - که همچنین بیست و هشتمین جلسه از سمینار ریاضیات برتر دانشگاه مونترال بود - به هندسه و تحلیل فراکتال اختصاص داشت. جلد حاضر حاصل کار این موسسه مطالعات پیشرفته است. ما خوش شانس بودیم که پروفسور بنوا ماندلبرو - خالق مفاهیم متعدد در هندسه فراکتال - را همراه خود داشتیم که مجموعه ای از سخنرانی ها در مورد چندفراکتال ها، تکرار توابع تحلیلی و انواع مختلف فرآیندهای تصادفی فراکتال ارائه کرد. مشارکت های اساسی مختلف برای هندسه فراکتال مانند نظریه اندازه گیری، سیستم های دینامیکی، نظریه تکرار، فرآیندهای انشعاب به رسمیت شناخته شده است. هندسه مجموعه‌های فراکتال و ابزارهای تحلیلی مورد استفاده برای بررسی آنها موضوع وحدت‌بخش این کتاب را ارائه می‌کند. موضوعات اصلی که تحت پوشش قرار می گیرند به شرح زیر می باشند. نظریه ابعاد. تعاریف زیادی از بعد کسری ارائه شده است که همه آنها بر روی اشیاء "عادی" منطبق هستند، اما اغلب مقادیر متفاوتی را برای یک مجموعه فراکتال معین می گیرند. بحث زیادی در مورد تخمین های تکه ای وجود دارد که مقادیر واقعی را برای متداول ترین ابعاد به دست می دهد (هوسدورف، ابعاد شمارش جعبه و بسته بندی). نظریه ابعاد عمدتا توسط مندز-فرانس، بدفورد، فالکونر، تریکو و راتا مورد بحث قرار گرفته است. ساخت مجموعه های فراکتال. مقیاس در واریانس یک ویژگی اساسی مجموعه های فراکتال است.

This ASI- which was also the 28th session of the Seminaire de mathematiques superieures of the Universite de Montreal - was devoted to Fractal Geometry and Analysis. The present volume is the fruit of the work of this Advanced Study Institute. We were fortunate to have with us Prof. Benoit Mandelbrot - the creator of numerous concepts in Fractal Geometry - who gave a series of lectures on multifractals, iteration of analytic functions, and various kinds of fractal stochastic processes. Different foundational contributions for Fractal Geometry like measure theory, dy­ namical systems, iteration theory, branching processes are recognized. The geometry of fractal sets and the analytical tools used to investigate them provide a unifying theme of this book. The main topics that are covered are then as follows. Dimension Theory. Many definitions of fractional dimension have been proposed, all of which coincide on "regular" objects, but often take different values for a given fractal set. There is ample discussion on piecewise estimates yielding actual values for the most common dimensions (Hausdorff, box-counting and packing dimensions). The dimension theory is mainly discussed by Mendes-France, Bedford, Falconer, Tricot and Rata. Construction of fractal sets. Scale in variance is a fundamental property of fractal sets.