Fourier-Analysis und Distributionen

Vorwort v
Inhaltsverzeichnis vii
1 Einführung 1
1.1 Geschichtliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Das Problem der schwingenden Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Trigonometrische Polynome, Fourierkoeffizienten 7
2.1 Darstellungen trigonometrischer Polynome . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Die Fourierkoeffizienten trigonometrischer Polynome . . . . . . . . . . 8
2.3 Dirichlet-Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Zusammenfassung über trigonometrische Polynome . . . . . . . . . . 13
3 Fourierreihen 15
3.1 Die erste Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Grundlegende Sätze über Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Das Spektrum periodischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Rechnen mit Fourierreihen 31
4.1 Symmetrie-Eigenschaften, Linearität, Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Translationen im Zeit- und im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Die Ableitung von Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Integration von Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5 Asymptotisches Verhalten der Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . 39
4.6 Spektrum und Leistung, Parseval-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Anwendungsbeispiele für Fourierreihen 47
5.1 Beste Approximation im quadratischen Mittel . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Periodische Faltung, Anwendung auf lineare Systeme . . . . . . . . . . 50
5.3 Die Potentialgleichung auf einer Kreisscheibe . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4 Lösung für das Problem der schwingenden Saite . . . . . . . . . . . . 58
5.5 Der Approximationssatz von Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.6 Das 1/f -Theorem von Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.7 Einführung in die diskrete Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . 66
5.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6 Zur Konvergenz von Fourierreihen 107
6.1 Der Satz von Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2 Der Satz von Fejér, Konvergenz von Glättungen . . . . . . . . . . . . . 109
6.3 Die Parseval-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4 Fourierreihen für Funktionen mehrerer Variablen . . . . . . . . . . . . 116
6.5 Gründe für den Übergang zu Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7 Grundzüge der Distributionentheorie 125
7.1 Beschreibung von Funktionen durch Mittelwerte . . . . . . . . . . . . 125
7.2 Testfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.3 Der δ-Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.4 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.5 Rechnen mit Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.6 Testfunktionen und Distributionen mit mehreren Variablen . . . . . . . 155
7.7 Tensorprodukt und Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8 Anwendungsbeispiele für Distributionen 173
8.1 Periodische Distributionen sind verallgemeinerte Fourierreihen . . . . . 173
8.2 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . . 180
8.3 Anwendung auf lineare elektrische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . 191
8.4 Räumliche Potentialprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.5 Die Grundidee der Finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.6 Distributionelle Lösung der Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . 219
8.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9 Die Fouriertransformation 227
9.1 Darstellung von Funktionen durch harmonische Schwingungen . . . . 227
9.2 Fouriertransformation reellwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . 230
9.3 Gibbs-Phänomen und Glättung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.4 Rechnen mit Fouriertransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.5 Die Fouriertransformation für temperierte Distributionen . . . . . . . . 242
9.6 Fouriertransformation von Faltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
9.7 Fouriertransformation quadratisch integrierbarer Funktionen . . . . . . 261
9.8 Die Fouriertransformation für Funktionen mehrerer Variablen . . . . . 264
9.9 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
10 Grundlagen über Lineare Filter 273
10.1 Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
10.2 Translationsinvariante lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
10.3 Analoge lineare Filter, Stetigkeit und Kausalität . . . . . . . . . . . . . 277
10.4 Analoge Filter mit rationalen Frequenzgängen . . . . . . . . . . . . . . 287
10.5 Periodische Signale, stationäre Filterantwort . . . . . . . . . . . . . . 294
10.6 Diskrete lineare Filter, z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
10.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
11 Weitere Anwendungsbeispiele für die Fouriertransformation 327
11.1 Der Abtastsatz von Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
11.2 Sampling als Grundlage digitaler Übertragungstechnik . . . . . . . . . 330
11.3 Die Heisenbergsche Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
11.4 Zeit-Frequenz-Analyse, gefensterte Fouriertransformationen . . . . . . 349
11.5 Zeitfenster bei der diskreten Fouriertransformation . . . . . . . . . . . 357
11.6 Anfangswertprobleme für stabile zeitinvariante lineare Systeme . . . . 363
11.7 Anfangswertprobleme für Wellen- und Wärmeleitungsgleichung . . . . 364
11.8 Der Satz von Malgrange-Ehrenpreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
11.9 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
12 Ausblicke auf weiterführende Konzepte 379
12.1 Hilberträume, spezielle vollständige Orthonormalsysteme . . . . . . . 379
12.2 Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
A Der Residuensatz und der Fundamentalsatz der Algebra 405
B Hilfsmittel aus der Integrationstheorie 411
C Lösungen zu den Übungsaufgaben 423
Literaturverzeichnis 449
Symbolverzeichnis und physikalische Größen 457
Index 459