Fourier Analysis and Approximation: Vol. 1 One-Dimensional Theory

در کنفرانس بین‌المللی "تحلیل هارمونیک و تبدیل‌های انتگرال" که توسط یکی از نویسندگان در موسسه تحقیقات ریاضی در Oberwolfach (جنگل سیاه) در اوت 1965 برگزار شد، احساس شد که نیاز واقعی به کتابی در مورد تحلیل فوریه تاکید می کند (i) درمان موازی سری فوریه و فرم های ترانس فوریه از نقطه نظر تبدیل، (ب) پردازش تبدیل های فوریه در فضای LP(lRn)_ نه تنها برای p = 1 و p = 2، (iii) حل کلاسیک معادلات دیفرانسیل جزئی با اثبات های کاملاً دقیق، (IV) نظریه انتگرال های منفرد از نوع پیچیدگی، (v) کاربرد در نظریه تقریب شامل نظریه اشباع، (vi) نظریه ضرب، (vii) تبدیل های هیلبرت، انتگرال های کسری ریس، پتانسیل های بسل، (viii) روش های تبدیل فوریه در گروه های فشرده محلی. هدف این مطالعه بررسی این جنبه‌ها، ارائه یک درمان نظام‌مند از تحلیل فوریه بر روی دایره و همچنین در خط بی‌نهایت، و حوزه‌هایی از نظریه تقریب است که به نوعی با آن مرتبط هستند. جلد دوم در حال آماده سازی است که فراتر از تئوری یک بعدی ارائه شده در اینجا است تا موضوع را برای توابع چندین متغیر پوشش دهد. تقریباً نیمی از این جلد اول به نظریه‌های سری فوریه و انتگرال‌های فوریه از دیدگاه تبدیل می‌پردازد.

At the international conference on 'Harmonic Analysis and Integral Transforms', conducted by one of the authors at the Mathematical Research Institute in Oberwolfach (Black Forest) in August 1965, it was felt that there was a real need for a book on Fourier analysis stressing (i) parallel treatment of Fourier series and Fourier trans­ forms from a transform point of view, (ii) treatment of Fourier transforms in LP(lRn)_ space not only for p = 1 and p = 2, (iii) classical solution of partial differential equations with completely rigorous proofs, (iv) theory of singular integrals of convolu­ tion type, (v) applications to approximation theory including saturation theory, (vi) multiplier theory, (vii) Hilbert transforms, Riesz fractional integrals, Bessel potentials, (viii) Fourier transform methods on locally compact groups. This study aims to consider these aspects, presenting a systematic treatment of Fourier analysis on the circle as well as on the infinite line, and of those areas of approximation theory which are in some way or other related thereto. A second volume is in preparation which goes beyond the one-dimensional theory presented here to cover the subject for functions of several variables. Approximately a half of this first volume deals with the theories of Fourier series and of Fourier integrals from a transform point of view.