Foundations of Real and Abstract Analysis

هسته اصلی این کتاب، فصل‌های 3 تا 5، دوره‌ای را در مورد متریک، هنجار، و فضاهای هیلبرت در سطح ارشد/فارغ التحصیل ارائه می‌کند. انگیزه هر یک از این فصل ها تعمیم یک ویژگی خاص از فضای اقلیدسی n است: در فصل 3، آن صفت فاصله است. در فصل 4، طول; و در فصل 5، محصول درونی. علاوه بر مباحث استانداردی که مسلماً باید بخشی از زرادخانه هر دانشجوی فارغ التحصیل در رشته های ریاضی، فیزیک، اقتصاد ریاضی، آمار نظری، و. . . ، این بخش از کتاب حاوی نتایج و تمرین های بسیاری است که به ندرت در متون تحلیلی در این سطح یافت می شود. نمونه‌هایی از دومی قضیه وانگ (3. 3. 12) است که نشان می‌دهد خاصیت پوشش‌دهنده Lebesgue معادل خاصیت پیوستگی یکنواخت است، و نتیجه موتزکین (5. 2. 2) که یک زیرمجموعه بسته غیرخالی از فضای اقلیدسی دارای ویژگی نزدیک‌ترین نقطه منحصر به فرد است اگر و فقط اگر آن را داشته باشد. محدب است واقعیت غم انگیز امروز این است که دانش‌آموزان با درک آن‌ها به عنوان یکی از بخش‌های سخت‌تر مطالعات ریاضی، تقریباً هر هزینه‌ای را متحمل می‌شوند، به ویژه محرومیت‌های آموزشی و فنی خودشان. بسیاری از دانشگاه‌ها در مقاطعی تسلیم تقاضای منفی دانشجویان برای دوره‌های تحلیلی شده‌اند و به طور جدی انتظارات خود را از دانشجویان در آن حوزه کمرنگ کرده‌اند. در نتیجه، ریاضیات - دانش‌آموزان در حال فارغ‌التحصیل شدن هستند، گاهی اوقات با افتخارات عالی، و با چیزی جز یک یا دو دوره ابتدایی در مورد تجزیه و تحلیل واقعی و پیچیده، اغلب بدون حتی مقدمه‌ای برای انتگرال Lebesgue.

The core of this book, Chapters 3 through 5, presents a course on metric, normed,andHilbertspacesatthesenior/graduatelevel. Themotivationfor each of these chapters is the generalisation of a particular attribute of the n Euclidean spaceR : in Chapter 3, that attribute isdistance; in Chapter 4, length; and in Chapter 5, inner product. In addition to the standard topics that, arguably, should form part of the armoury of any graduate student in mathematics, physics, mathematical economics, theoretical statistics,. . . , this part of the book contains many results and exercises that are seldom found in texts on analysis at this level. Examples of the latter are Wong’s Theorem(3. 3. 12)showingthattheLebesguecoveringpropertyisequivalent to the uniform continuity property, and Motzkin’s result (5. 2. 2) that a nonempty closed subset of Euclidean space has the unique closest point property if and only if it is convex. The sad reality today is that, perceiving them as one of the harder parts oftheirmathematicalstudies,studentscontrivetoavoidanalysiscoursesat almost any cost, in particular that of their own educational and technical deprivation. Many universities have at times capitulated to the negative demand of students for analysis courses and have seriously watered down their expectations of students in that area. As a result, mathematics - jors are graduating, sometimes with high honours, with little exposure to anything but a rudimentary course or two on real and complex analysis, often without even an introduction to the Lebesgue integral.