Foundations of hyperbolic manifolds

Preface......Page 7
Preface to the Third Edition......Page 9
Contents......Page 10
 §1.1 Euclid's Parallel Postulate......Page 13
  Spherical-Hyperbolic Duality......Page 15
  Curvature......Page 17
 §1.2 Independence of the Parallel Postulate......Page 19
  The Conformal Disk Model......Page 20
  The Upper Half-Plane Model......Page 22
  The Hyperboloid Model......Page 24
 §1.3 Euclidean n-space......Page 25
  Metric Spaces......Page 26
  Isometries......Page 27
  Orthogonal Transformations......Page 28
  Group Actions......Page 30
  Characterization of Euclidean Isometries......Page 31
  Similarities......Page 32
 §1.4 Geodesics......Page 34
  Geodesic Lines......Page 37
 §1.5 Arc Length......Page 40
  Euclidean Arc Length......Page 42
 §1.6 Historical Notes......Page 44
  Cross Products......Page 46
  The Spherical Metric......Page 47
  Spherical Geodesics......Page 49
  Gnomonic Projection......Page 52
 §2.3 Spherical Arc Length......Page 54
 §2.4 Spherical Volume......Page 55
 §2.5 Spherical Trigonometry......Page 58
  Area of Spherical Triangles......Page 60
 §2.6 Historical Notes......Page 63
 §3.1 Lorentzian n-space......Page 64
  Lorentz Transformations......Page 66
  The Time-Like Angle between Time-Like Vectors......Page 69
 §3.2 Hyperbolic n-space......Page 71
  Lorentzian Cross Products......Page 72
  Hyperbolic Geodesics......Page 75
  Hyperplanes......Page 77
  The Space-Like Angle between Space-Like Vectors......Page 78
  The Time-Like Angle between Space-Like Vectors......Page 79
  The Angle between Space-Like and Time-Like Vectors......Page 81
 §3.3 Hyperbolic Arc Length......Page 83
 §3.4 Hyperbolic Volume......Page 87
 §3.5 Hyperbolic Trigonometry......Page 90
  Area of Hyperbolic Triangles......Page 93
  Triangles with One Ideal or Ultra-Ideal Vertex......Page 98
  Almost Rectangular Quadrilaterals and Pentagons......Page 100
  Right-Angled Hyperbolic Hexagons......Page 102
 §3.6 Historical Notes......Page 107
 §4.1 Reflections......Page 109
  Inversions......Page 111
  Conformal Transformations......Page 113
 §4.2 Stereographic Projection......Page 116
 §4.3 Möbius Transformations......Page 119
  The Isometric Sphere......Page 121
  Preservation of Spheres......Page 122
  Möbius Transformations of Upper Half-Space......Page 125
  Möbius Transformations of the Unit n-Ball......Page 128
 §4.5 The Conformal Ball Model......Page 131
  Hyperbolic Translation......Page 133
 §4.6 The Upper Half-Space Model......Page 140
  Elliptic Transformations......Page 145
  Parabolic Transformations......Page 146
  Hyperbolic Transformations......Page 149
 §4.8 Historical Notes......Page 152
 §5.1 Topological Groups......Page 154
  The General Linear Group......Page 155
  The Unitary Group......Page 156
  Quotient Topological Groups......Page 157
 §5.2 Groups of Isometries......Page 160
  Groups of Möbius Transformations......Page 162
 §5.3 Discrete Groups......Page 168
  Discontinuous Groups......Page 171
 §5.4 Discrete Euclidean Groups......Page 175
  Commutativity in Discrete Euclidean Groups......Page 177
 §5.5 Elementary Groups......Page 186
  Elementary Groups of Elliptic Type......Page 187
  Elementary Groups of Parabolic Type......Page 188
  Elementary Groups of Hyperbolic Type......Page 189
  Solvable Groups......Page 191
 §5.6 Historical Notes......Page 195
 §6.1 The Projective Disk Model......Page 197
 §6.2 Convex Sets......Page 203
  Sides of a Convex Set......Page 207
 §6.3 Convex Polyhedra......Page 210
  Faces of a Convex Polyhedron......Page 215
  Vertices of a Convex Polyhedron......Page 219
  Dihedral Angles......Page 221
  Links of a Convex Polyhedron......Page 223
 §6.5 Polytopes......Page 232
  Generalized Polytopes......Page 235
  Regular Polytopes......Page 237
  Schläi Symbols......Page 240
  Regular Ideal Polytopes......Page 242
 §6.6 Fundamental Domains......Page 243
  Fundamental Regions......Page 245
  Locally Finite Fundamental Regions......Page 247
  Rigid Metric Spaces......Page 250
  Dirichlet Domains......Page 252
 §6.7 Convex Fundamental Polyhedra......Page 255
  Fundamental Polyhedra......Page 258
 §6.8 Tessellations......Page 262
  Side-Pairing......Page 264
  Cycles of Polyhedra......Page 265
  Cycle Relations......Page 267
 §6.9 Historical Notes......Page 270
 §7.1 Reflection Groups......Page 272
  Coxeter Graphs......Page 283
  Enhanced Coxeter Graphs......Page 284
  Spherical Triangle Reection Groups......Page 286
  Euclidean Triangle Reection Groups......Page 289
  Hyperbolic Triangle Reection Groups......Page 290
  Barycentric Subdivision......Page 291
  Tetrahedron Reection Groups......Page 292
  Bilinear Forms......Page 294
  Classification of Simplex Reection Groups......Page 303
 §7.3 Generalized Simplex Reflection Groups......Page 306
 §7.4 The Volume of a Simplex......Page 313
  The Schläfli Differential Formula......Page 317
 §7.5 Crystallographic Groups......Page 320
  Bieberbach's Theorem......Page 323
  The Splitting Group......Page 328
  Bieberbach Groups......Page 330
 §7.6 Torsion-Free Linear Groups......Page 334
  Valuation Rings......Page 338
  Selberg's Lemma......Page 342
 §7.7 Historical Notes......Page 344
 §8.1 Geometric Spaces......Page 346
  Free Group Actions......Page 349
  X-Space-Forms......Page 350
 §8.2 Clifford-Klein Space-Forms......Page 353
  Spherical Space-Forms......Page 354
  Euclidean Space-Forms......Page 355
  Hyperbolic Space-Forms......Page 356
 §8.3 (X,G)-Manifolds......Page 359
  X-Space-Forms......Page 361
  Metric (X;G)-Manifolds......Page 362
 §8.4 Developing......Page 366
  (X;G)-Maps......Page 368
  Holonomy......Page 370
 §8.5 Completeness......Page 373
  Geodesic Completeness......Page 375
  Complete (X;G)-Manifolds......Page 379
 §8.6 Curvature......Page 383
 §8.7 Historical Notes......Page 385
 §9.1 Compact Surfaces......Page 387
  Orientability......Page 388
  Surfaces-with-Boundary......Page 389
 §9.2 Gluing Surfaces......Page 390
  The Generalized Gluing Theorem......Page 400
 §9.3 The Gauss-Bonnet Theorem......Page 402
 §9.4 Moduli Spaces......Page 403
  Moduli Space......Page 405
  The Dehn-Nielsen Theorem......Page 406
  Deformation Space......Page 408
 §9.5 Closed Euclidean Surfaces......Page 413
 §9.6 Closed Geodesics......Page 416
  Closed Curves......Page 418
 §9.7 Closed Hyperbolic Surfaces......Page 423
  Pairs of Pants......Page 424
  Teichmüller Space......Page 427
 §9.8 Hyperbolic Surfaces of Finite Area......Page 431
  Complete Gluing of Hyperbolic Surfaces......Page 433
  Cusps......Page 439
  Discrete Groups......Page 440
 §9.9 Historical Notes......Page 444
 §10.1 Gluing 3-Manifolds......Page 446
 §10.2 Complete Gluing of 3-Manifolds......Page 455
 §10.3 Finite Volume Hyperbolic 3-Manifolds......Page 459
  The Whitehead Link Complement......Page 465
  The Borromean Rings Complement......Page 470
  Orthotetrahedra......Page 473
  The Lobachevsky Function......Page 476
  The Volume of an Orthotetrahedron......Page 481
  Ideal Tetrahedra......Page 484
 §10.5 Hyperbolic Dehn Surgery......Page 491
  Gluing Consistency Conditions......Page 493
  Hyperbolic Structures on the Figure-Eight Knot......Page 496
  The Uniqueness of the Complete Structure......Page 498
  The Metric Structure of the Link......Page 500
  Metric Completion......Page 503
  The Dehn Surgery Invariant......Page 506
  Dehn Surgery......Page 509
 §10.6 Historical Notes......Page 516
 §11.1 Gluing n-Manifolds......Page 518
  Complete Gluing of n-Manifolds......Page 521
 §11.2 Poincaré's Theorem......Page 526
  Poincaré's Fundamental Polyhedron Theorem......Page 528
 §11.3 The Gauss-Bonnet Theorem......Page 533
 §11.4 Simplices of Maximum Volume......Page 542
 §11.5 Differential Forms......Page 553
  Tangent Maps......Page 555
  Euclidean Differential Forms......Page 556
  The Bundle of Skew-Symmetric k-Linear Functionals......Page 557
  Hyperbolic Differential Forms......Page 559
  The Integral of an n-Form......Page 560
  The Volume Form......Page 561
  The Integral of a k-Form over a k-Chain......Page 563
 §11.6 Simplicial Volume......Page 565
  Straight Singular k-Simplices......Page 566
  Haar Measure......Page 570
 §11.7 Measure Homology......Page 574
  The Measure Chain Complex......Page 575
  The de Rham Chain Complex......Page 579
  Straightening......Page 581
  Smearing......Page 584
  Representing the Fundamental Class......Page 587
  Lipschitz Conditions......Page 590
  Pseudo-isometries......Page 592
  Measure Homology......Page 601
  Rigidity......Page 604
 §11.9 Historical Notes......Page 607
 §12.1 Limit Sets......Page 609
 §12.2 Limit Sets of Discrete Groups......Page 613
  The Ordinary Set......Page 616
  Nearest Point Retraction......Page 617
  Classical Schottky Groups......Page 621
  Conical Limit Points......Page 626
  Cusped Limit Points......Page 628
  Cusp Points......Page 633
 §12.4 Geometrically Finite Discrete Groups......Page 636
  Geometrically Finite Convex Polyhedra......Page 637
  Horocusps......Page 645
  The Convex Core......Page 646
  Geometrically Finite Groups......Page 647
 §12.5 Nilpotent Groups......Page 656
 §12.6 The Margulis Lemma......Page 665
  Margulis Regions......Page 667
  Parabolic Fixed Points......Page 670
  Finiteness Properties of Geometrically Finite Groups......Page 676
  Geometrically Finite Hyperbolic Manifolds......Page 679
  The Ideal Boundary of a Hyperbolic Manifold......Page 685
  Cusps......Page 686
  Finiteness Properties of Geometrically Finite Manifolds......Page 688
  Algebraic Integers......Page 690
  Number Fields......Page 691
  The Orthogonal Group of a Quadratic Form......Page 692
  Admissible Quadratic Forms......Page 693
  Haar Measure......Page 694
  Compactness Criteria......Page 697
 §12.9 Historical Notes......Page 707
 §13.1 Orbit Spaces......Page 710
 §13.2 (X,G)-Orbifold......Page 720
  Order of a Point......Page 723
  Two-Dimensional Compact Geometric Orbifolds......Page 724
  Metric (X;G)-Orbifolds......Page 732
  (X;G)-Paths......Page 735
  Fundamental Orbifold Group......Page 737
  Holonomy......Page 738
  Universal Orbifold Covering Space......Page 739
  The Developing Map......Page 745
  Complete (X;G)-Orbifolds......Page 752
 §13.4 Gluing Orbifolds......Page 757
  Complete Gluing of Orbifolds......Page 768
 §13.5 Poincaré's Theorem......Page 773
  Poincaré's Fundamental Polyhedron Theorem......Page 774
 §13.6 Historical Notes......Page 776
Bibliography......Page 778
Index......Page 801