Foundations of Grothendieck duality for diagrams of schemes

بخش اول نوشته شده توسط جوزف لیپمن، قابل دسترسی برای دانشجویان مقطع کارشناسی ارشد، توضیح کاملی از مبانی انتزاعی نظریه دوگانگی گروتندیک برای طرح‌ها (تصویر معکوس پیچ خورده، تغییر پایه مستقل از تور،... )، تا حدی بدون فرضیه‌های نوتر، و با برخی اصلاحات برای نقشه‌های با ابعاد پیچ ​​محدود. زمینه با یک درمان طولانی از فرمالیسم غنی روابط بین تابع های مشتق شده، برای مجتمع های نامحدود در فضاهای حلقه ای، از تانسور تابع های شیف، هم، تصویر مستقیم و معکوس آماده شده است. شامل پیشرفت‌هایی برای طرح‌های شبه فشرده و شبه جداشده، نتایج کلاسیک مانند طرح‌ریزی و ایزومورفیسم‌های Künneth است.

در بخش دوم که به طور مستقل توسط میتسویاسو هاشیموتو نوشته شده است، این نظریه به زمینه نمودارهای طرح‌ها بسط داده شده است. این شامل، به عنوان یک مورد خاص، یک نظریه معادل برای طرح هایی با اقدامات گروهی است. به طور خاص، پس از انجام عملیات اساسی مختلف بر روی شیوها مانند تصاویر مستقیم (مشتق‌شده) و تصاویر معکوس، دوگانگی Grothendieck و تغییر پایه تخت برای نمودارهای طرح‌ها ثابت می‌شود. همچنین مجتمع های دوگانه سازی در این زمینه مورد مطالعه قرار می گیرند. به عنوان یک کاربرد برای کنش‌های گروهی، قضیه واتانابه را در مورد ویژگی گورنشتاین زیرحلقه‌های ثابت تعمیم می‌دهیم.

The first part written by Joseph Lipman, accessible to mid-level graduate students, is a full exposition of the abstract foundations of Grothendieck duality theory for schemes (twisted inverse image, tor-independent base change,...), in part without noetherian hypotheses, and with some refinements for maps of finite tor-dimension. The ground is prepared by a lengthy treatment of the rich formalism of relations among the derived functors, for unbounded complexes over ringed spaces, of the sheaf functors tensor, hom, direct and inverse image. Included are enhancements, for quasi-compact quasi-separated schemes, of classical results such as the projection and Künneth isomorphisms.

In the second part, written independently by Mitsuyasu Hashimoto, the theory is extended to the context of diagrams of schemes. This includes, as a special case, an equivariant theory for schemes with group actions. In particular, after various basic operations on sheaves such as (derived) direct images and inverse images are set up, Grothendieck duality and flat base change for diagrams of schemes are proved. Also, dualizing complexes are studied in this context. As an application to group actions, we generalize Watanabe's theorem on the Gorenstein property of invariant subrings.