Foundations of Finitely Supported Structures: A Set Theoretical Viewpoint

این کتاب یک مجموعه توسعه نظری را برای مبانی تئوری ساختارهای اتمی و ساختارهای با پشتیبانی محدود ارائه می دهد. این تجزیه و تحلیل می کند که آیا یک نتیجه کلاسیک را می توان با جایگزین کردن یک "ساختار غیر اتمی" با یک "ساختار اتمی، با پشتیبانی محدود" به اندازه کافی دوباره فرمول بندی کرد. همچنین بسیاری از ویژگی‌های خاص، مانند محدود بودن، کاردینالیته، اتصال، نقطه ثابت، نظم و یکنواختی ساختارهای اتمی با پشتیبانی محدود را ارائه می‌کند که مطابقت غیر اتمی ندارند.

در چارچوب مجموعه‌هایی که به طور محدود پشتیبانی می‌شوند، نویسندگان سازگاری اشکال مختلف انتخاب و نتایج مرتبط را تجزیه و تحلیل می‌کنند. آنها مفهوم «کاردینالیته» را با ارائه نظم و ویژگی‌های حسابی مختلف معرفی و مطالعه می‌کنند. مجموعه‌های سفارشی جزئی با پشتیبانی محدود، مجموعه‌های زنجیره‌ای کامل، شبکه‌ها و اتصالات گالوا مورد مطالعه قرار گرفته‌اند و ویژگی‌های نقطه ثابت جدید، قابلیت محاسبه و تقریب ارائه شده‌اند. در این چارچوب، نویسندگان زیرمجموعه‌های فازی L-فازی با پشتیبانی محدود از یک مجموعه با پشتیبانی محدود و زیر گروه‌های فازی محدود پشتیبانی شده از یک گروه با پشتیبانی محدود را مطالعه می‌کنند. چندین تعریف غیرمعادل جفتی برای مفهوم «بی نهایت» (بی‌نهایت ددکیند، بی‌نهایت ماستوفسکی، بی‌نهایت کوراتوفسکی، بی‌نهایت تارسکی، بی‌نهایت صعودی) در چارچوب جدید معرفی، مقایسه و مطالعه شده‌اند. نمونه‌های مرتبطی از مجموعه‌هایی که برخی از اشکال بی‌نهایت را برآورده می‌کنند در حالی که برخی دیگر را راضی نمی‌کنند، ارائه شده‌اند. مجموعه‌های پشتیبانی شده یکنواخت تحلیل می‌شوند و ویژگی‌های شگفت‌انگیز خاصی ارائه می‌شوند. در نهایت، برخی از تغییرات مورد نیاز پشتیبانی محدود مورد بحث قرار می گیرد.

این کتاب برای محققان در مبانی نظریه مجموعه‌ها، جبر و منطق ارزشمند خواهد بود.

This book presents a set theoretical development for the foundations of the theory of atomic and finitely supported structures. It analyzes whether a classical result can be adequately reformulated by replacing a 'non-atomic structure' with an 'atomic, finitely supported structure’. It also presents many specific properties, such as finiteness, cardinality, connectivity, fixed point, order and uniformity, of finitely supported atomic structures that do not have non-atomic correspondents.

In the framework of finitely supported sets, the authors analyze the consistency of various forms of choice and related results. They introduce and study the notion of 'cardinality' by presenting various order and arithmetic properties. Finitely supported partially ordered sets, chain complete sets, lattices and Galois connections are studied, and new fixed point, calculability and approximation properties are presented. In this framework, the authors study the finitely supported L-fuzzy subsets of a finitely supported set and the finitely supported fuzzy subgroups of a finitely supported group. Several pairwise non-equivalent definitions for the notion of 'infinity' (Dedekind infinity, Mostowski infinity, Kuratowski infinity, Tarski infinity, ascending infinity) are introduced, compared and studied in the new framework. Relevant examples of sets that satisfy some forms of infinity while not satisfying others are provided. Uniformly supported sets are analyzed, and certain surprising properties are presented. Finally, some variations of the finite support requirement are discussed.

The book will be of value to researchers in the foundations of set theory, algebra and logic.