Formal Algorithmic Elimination for PDEs

بررسی مطابقت بین سیستم‌های معادلات دیفرانسیل جزئی و حل‌های تحلیلی آنها با استفاده از رویکرد رسمی، الگوریتم‌هایی برای تعیین مجموعه حل‌های تحلیلی چنین سیستمی و برعکس برای یافتن معادلات دیفرانسیل که مجموعه راه‌حل‌های آنها منطبق است ارائه می‌کند. با یک مجموعه پارامتری داده شده از توابع تحلیلی. پس از ارائه مقدمه ای مفصل بر پایه های جانت و تجزیه توماس، مشکل یافتن یک توصیف ضمنی از مجموعه خاصی از توابع تحلیلی بر حسب معادلات دیفرانسیل مطرح می شود. روش‌های مؤثر با کلیت‌های متفاوت برای حل مشکلات حذف تفاضلی که در این زمینه ایجاد می‌شوند، توسعه یافته‌اند. به طور خاص، نشان داده شده است که چگونه حل نمادین معادلات دیفرانسیل جزئی از مطالعه مسئله ضمنی سازی سود می برد. به عنوان مثال، خانواده های معینی از راه حل های دقیق معادلات ناویر-استوکس را می توان محاسبه کرد.

Investigating the correspondence between systems of partial differential equations and their analytic solutions using a formal approach, this monograph presents algorithms to determine the set of analytic solutions of such a system and conversely to find differential equations whose set of solutions coincides with a given parametrized set of analytic functions. After giving a detailed introduction to Janet bases and Thomas decomposition, the problem of finding an implicit description of certain sets of analytic functions in terms of differential equations is addressed. Effective methods of varying generality are developed to solve the differential elimination problems that arise in this context. In particular, it is demonstrated how the symbolic solution of partial differential equations profits from the study of the implicitization problem. For instance, certain families of exact solutions of the Navier-Stokes equations can be computed.