Fluctuations of Lévy Processes with Applications: Introductory Lectures

فرایندهای Lévy آنالوگ طبیعی زمان پیوسته پیاده روی تصادفی هستند و یک کلاس غنی از فرآیندهای تصادفی را تشکیل می دهند که یک نظریه ریاضی قوی پیرامون آن وجود دارد. کاربرد آنها در تئوری بسیاری از حوزه‌های فرآیندهای تصادفی کلاسیک و مدرن از جمله مدل‌های ذخیره‌سازی، فرآیندهای تجدید، مدل‌های ریسک بیمه، مشکلات توقف بهینه، مالی ریاضی، فرآیندهای انشعاب حالت پیوسته و فرآیندهای مارکوف مثبت مشابه ظاهر می‌شود.

این کتاب درسی بر اساس مجموعه ای از دوره های تحصیلات تکمیلی در مورد تئوری و کاربرد فرآیندهای Lévy از منظر نوسانات مسیر آنها است. محور اصلی ارائه، تجزیه مسیرها از نظر گشت و گذار از حداکثر دویدن و همچنین درک رفتار کوتاه مدت و بلندمدت است.

هدف این کتاب این است که از لحاظ ریاضی دقیق باشد و در عین حال شهودی ارائه دهد. اصول اساسی را احساس کنید نتایج و کاربردها اغلب بر روی مورد فرآیندهای Lévy با جهش تنها در یک جهت متمرکز می‌شوند، که پیشرفت‌های نظری اخیر درجه بالاتری از قابلیت حمل‌پذیری ریاضی را به همراه داشته است.

ویرایش دوم علاوه بر این، به پیشرفت‌های اخیر در پتانسیل می‌پردازد. تجزیه و تحلیل زیرمجموعه ها، نظریه وینر-هوپف، نظریه توابع مقیاس و کاربرد آنها در نظریه خرابی، و همچنین شامل یک مرور کلی از نظریه کلاسیک و مدرن فرآیندهای مارکوف خود مشابه مثبت است. هر فصل دارای مجموعه ای جامع از تمرینات است.

Lévy processes are the natural continuous-time analogue of random walks and form a rich class of stochastic processes around which a robust mathematical theory exists. Their application appears in the theory of many areas of classical and modern stochastic processes including storage models, renewal processes, insurance risk models, optimal stopping problems, mathematical finance, continuous-state branching processes and positive self-similar Markov processes.

This textbook is based on a series of graduate courses concerning the theory and application of Lévy processes from the perspective of their path fluctuations. Central to the presentation is the decomposition of paths in terms of excursions from the running maximum as well as an understanding of short- and long-term behaviour.

The book aims to be mathematically rigorous while still providing an intuitive feel for underlying principles. The results and applications often focus on the case of Lévy processes with jumps in only one direction, for which recent theoretical advances have yielded a higher degree of mathematical tractability.

The second edition additionally addresses recent developments in the potential analysis of subordinators, Wiener-Hopf theory, the theory of scale functions and their application to ruin theory, as well as including an extensive overview of the classical and modern theory of positive self-similar Markov processes. Each chapter has a comprehensive set of exercises.