Flow Lines and Algebraic Invariants in Contact Form Geometry

این متن به بررسی دقیق خطوط جریان و متغیرهای جبری در هندسه فرم تماس، حوزه وسیعی از تحقیقات مرتبط با نظریه میدان نمادین، منحنی‌های شبه هولومورفیک، و متغیرهای گروموف-ویتن (همونولوژی تماس) می‌پردازد. به طور خاص، این کار یک ابزار جبری جدید در این زمینه ایجاد می کند: که ریشه در مفهوم نقاط بحرانی در بی نهایت دارد، متغیرهای جبری جدید تعریف شده در اینجا در بررسی ساختارهای تماس و میدان های برداری Reeb مفید هستند.

کتاب با مروری بر نتایج قبلی آغاز می‌شود و سپس از طریق بررسی مشکلات متغیر، رفتار غیرفرهولم، نقاط بحرانی درست و نادرست در بی‌نهایت، و مفاهیم توپولوژیکی ادامه می‌یابد. همگرایی فزاینده با مشکلات نوع Yamabe منظم و منفرد مورد بحث قرار گرفته است، و تقاطع بین فرم تماس و هندسه ریمانی، با تمرکز ویژه بر روی یک رویکرد واحد برای عدم فشردگی در هر دو رشته، مورد تاکید قرار می‌گیرد. شواهد کاملاً دقیق، صریح و تعدادی پیشنهاد برای تحقیقات بیشتر در سرتاسر ارائه شده است.

این متن که سرشار از مسائل باز است و با دیدی جهانی از چندین شاخه از ریاضیات نوشته شده است، پایه و اساس راه‌های مطالعه جدیدی را می‌سازد. در هندسه فرم تماس دانشجویان فارغ التحصیل و محققان در هندسه، معادلات دیفرانسیل جزئی و زمینه های مرتبط از گستردگی و دیدگاه منحصر به فرد کتاب بهره مند خواهند شد.

This text features a careful treatment of flow lines and algebraic invariants in contact form geometry, a vast area of research connected to symplectic field theory, pseudo-holomorphic curves, and Gromov-Witten invariants (contact homology). In particular, this work develops a novel algebraic tool in this field: rooted in the concept of critical points at infinity, the new algebraic invariants defined here are useful in the investigation of contact structures and Reeb vector fields.

The book opens with a review of prior results and then proceeds through an examination of variational problems, non-Fredholm behavior, true and false critical points at infinity, and topological implications. An increasing convergence with regular and singular Yamabe-type problems is discussed, and the intersection between contact form and Riemannian geometry is emphasized, with a specific focus on a unified approach to non-compactness in both disciplines. Fully detailed, explicit proofs and a number of suggestions for further research are provided throughout.

Rich in open problems and written with a global view of several branches of mathematics, this text lays the foundation for new avenues of study in contact form geometry. Graduate students and researchers in geometry, partial differential equations, and related fields will benefit from the book's breadth and unique perspective.