Floquet Theory for Partial Differential Equations

معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب تناوبی بخش خوبی از تئوری معادلات دیفرانسیل معمولی را تشکیل می دهند [17، 94، 156، 177، 178، 272، 389]. آنها در بسیاری از کاربردهای فیزیکی و فنی به وجود می آیند [177، 178، 272]. موج جدیدی از علاقه به این موضوع در طول دو دهه گذشته با توسعه روش پراکندگی معکوس برای ادغام معادلات دیفرانسیل غیرخطی تحریک شده است. این امر منجر به پیشرفت قابل توجهی در این حوزه سنتی شده است [27، 71، 72، 111، 119، 250، 276، 277، 284، 286، 287، 312، 313، 337، 349، 354، 392، 394، 394، 394. . در عین حال، بسیاری از مسائل نظری و کاربردی منجر به معادلات دیفرانسیل جزئی دوره ای می شود. به عنوان مثال می توان به مکانیک کوانتومی اشاره کرد [14، 18، 40، 54، 60، 91، 92، 107، 123، 157-160، 192، 193، 204، 315، 367، 412، 414، 15،4، ، هیدرودینامیک [179، 180]، نظریه کشش [395]، نظریه امواج هدایت شده [87-89، 208، 300]، نظریه همگن سازی [29، 41، 348]، پراکندگی مستقیم و معکوس [175، 206، 216، 314، 388، 406-408]، نظریه رزونانس پارامتریک [122، 178]، و نظریه طیفی و هندسه طیفی [103 105، 381، 382، 389]. بین موارد معادلات تناوبی دیفرانسیل معمولی و جزئی تمایز قابل توجهی وجود دارد. ابزار اصلی تئوری معادلات دیفرانسیل معمولی دوره ای، نظریه فلوکه نامیده می شود [17، 94، 120، 156، 177، 267، 272، 389]. نتیجه مرکزی آن قضیه زیر است (گاهی اوقات قضیه فلوکه-لیاپانوف نامیده می شود) [120، 267].

Linear differential equations with periodic coefficients constitute a well developed part of the theory of ordinary differential equations [17, 94, 156, 177, 178, 272, 389]. They arise in many physical and technical applications [177, 178, 272]. A new wave of interest in this subject has been stimulated during the last two decades by the development of the inverse scattering method for integration of nonlinear differential equations. This has led to significant progress in this traditional area [27, 71, 72, 111­ 119, 250, 276, 277, 284, 286, 287, 312, 313, 337, 349, 354, 392, 393, 403, 404]. At the same time, many theoretical and applied problems lead to periodic partial differential equations. We can mention, for instance, quantum mechanics [14, 18, 40, 54, 60, 91, 92, 107, 123, 157-160, 192, 193, 204, 315, 367, 412, 414, 415, 417], hydrodynamics [179, 180], elasticity theory [395], the theory of guided waves [87-89, 208, 300], homogenization theory [29, 41, 348], direct and inverse scattering [175, 206, 216, 314, 388, 406-408], parametric resonance theory [122, 178], and spectral theory and spectral geometry [103­ 105, 381, 382, 389]. There is a sjgnificant distinction between the cases of ordinary and partial differential periodic equations. The main tool of the theory of periodic ordinary differential equations is the so-called Floquet theory [17, 94, 120, 156, 177, 267, 272, 389]. Its central result is the following theorem (sometimes called Floquet-Lyapunov theorem) [120, 267].