First-passage process

Cover......Page 1
Title......Page 4
Copyright......Page 5
Contents......Page 6
Preface......Page 8
List of Errata......Page 11
1.1.1. A Simple Illustration......Page 16
1.1.2. Fundamental Issues......Page 18
1.2. Connection between First-Passage and Occupation Probabilities......Page 20
1.3.1. Discrete Space and Time......Page 22
1.3.2. Discrete Space and Continuous Time......Page 25
1.3.3. Continuous Space and Time......Page 28
1.3.3.1. Scaling Solution......Page 29
1.3.3.2. Fourier Transform Solution......Page 30
1.3.3.3. Laplace Transform Solution......Page 31
1.4. Relation between Laplace Transforms and Real-Time Quantities......Page 32
1.5. Asymptotics of the First-Passage Probability......Page 36
1.6.1. Background......Page 39
1.6.2.1. Hitting Probability......Page 40
1.6.2.2. Hitting Time......Page 41
1.6.3.1. Splitting Probabilities......Page 43
1.6.3.2. Unconditional and Conditional Mean First-Passage Times......Page 45
1.7.2. The Basic Relation......Page 48
1.7.3. Escape Probability, Resistance, and Polya’s Theorem......Page 49
1.8. Epilogue......Page 52
2.1. Introduction......Page 53
2.1.1. Basic Questions......Page 54
2.2.1.1. Isotropic Diffusion......Page 55
2.2.1.2. Biased Diffusion......Page 57
2.2.2. First-Passage Probability and Mean Exit Times......Page 58
2.2.2.1. Isotropic Diffusion......Page 59
2.2.2.2. Biased Diffusion......Page 67
2.3.1.1. Isotropic Diffusion......Page 70
2.3.1.2. Biased diffusion......Page 71
2.3.1.3. The Freely Accelerated Particle......Page 75
2.3.2. Conditional Mean Exit Times: Absorption Mode......Page 78
2.3.3. Transmission Mode......Page 80
2.3.4. Biased Diffusion as a Singular Perturbation......Page 81
2.4.1.1. Discrete Time......Page 84
2.4.1.2. Continuous Time......Page 86
2.4.2.2. Transmission Mode......Page 88
2.4.2.3. Direct Solution......Page 90
2.4.2.4. Recursive Solution......Page 91
2.4.3. Mean First-Passage Time......Page 92
3.1. The Basic Dichotomy......Page 95
3.2.1. The Concentration Profile......Page 96
3.2.2.1. Isotropic Diffusion......Page 98
3.2.2.2. Biased Diffusion......Page 102
3.2.2.3. Long-Range and Generalized Hopping Processes......Page 104
3.2.2.4. Semi-Infinite Slab......Page 106
3.3.1. The Green’s Function Solution......Page 108
3.3.2. Constant-Density Initial Condition......Page 109
3.4.1. The Reflection Principle......Page 112
3.4.2. Consequences for First Passage......Page 113
3.4.3.1. Qualitative Picture and Basic Questions......Page 115
3.4.3.2. Number of Returns to the Origin......Page 116
3.4.3.3. Lead Probability and the Arcsine Law......Page 119
3.5.1. Motivation......Page 121
3.5.2. Radiation Boundary Condition......Page 122
3.5.3.1. Diffusion-Absorption Equation......Page 124
3.5.4. Equivalence to the Radiation Boundary Condition......Page 127
3.6.2. Quasi-Static Solution at an Absorbing Boundary......Page 128
3.6.3. Quasi-Static Solution at a Radiation Boundary......Page 129
4.1. First Passage in Real Systems......Page 130
4.2.2. Integrate-and-Fire Model......Page 132
4.3. Self-Organized Criticality......Page 135
4.3.1. Isotropic and Directed Sandpile Models......Page 136
4.3.2. Bak-Sneppen Model......Page 138
4.3.3.1. One-Dimensional Traffic Jams......Page 143
4.3.3.2. Anisotropic Interface Depinning......Page 145
4.4.1. Background......Page 146
4.4.2. Solution to the One-Dimensional Ising-Glauber Model......Page 147
4.4.3. Solution to the Voter Model in all Dimensions......Page 151
4.5.1. Motivation......Page 154
4.5.2. Segments with Different Diffusivities......Page 155
4.5.3. Segments with Different Bias Velocities......Page 156
4.5.3.1. Two Segments......Page 157
4.5.3.2. Three Segments......Page 158
4.5.4. Resonant First Passage in a Fluctuating Medium......Page 160
4.6.2. Diffusivity 1−(x/N)2......Page 165
4.6.3. Diffusivity 1 − |x|/N......Page 167
4.6.4. Diffusivity (1 − |x|/N)μ......Page 168
4.7.1. General Considerations......Page 169
4.7.2. Slowly Expanding Cage: Adiabatic Approximation......Page 170
4.7.4.1. Heuristics......Page 171
4.7.4.2. Asymptotics......Page 172
4.7.5. Iterated Logarithm Law for Ultimate Survival......Page 174
4.8. The Moving Cliff......Page 176
4.8.2. Marginally Moving Cliff......Page 177
4.8.3. Diffusing Cliff......Page 180
5.1. Beyond One Dimension......Page 183
5.2. Cayley Tree......Page 184
5.3. Hierarchical Three-Tree......Page 187
5.3.1. Transmission in the First-Order Tree......Page 188
5.3.2. Exact Renormalization for the Nth-Order Tree......Page 189
5.3.3. Reflection in the Three-Tree......Page 193
5.3.4. Conclusion......Page 195
5.4.1. Introduction......Page 196
5.4.2.1. One Sidebranch......Page 197
5.4.2.2. Periodic Sidebranching......Page 199
5.4.2.3. Infinite-Length Sidebranches......Page 202
5.4.3.1. First-Passage Time......Page 204
5.4.3.2. First-Passage Probability......Page 207
5.5. Hydrodynamic Transport......Page 208
5.5.1.1. Solution to the Diffusion Equation......Page 209
5.5.1.2. Infinite-Length Sidebranch......Page 211
5.5.1.3. The Role of Bias......Page 212
5.5.2. Single-Junction Network......Page 213
5.5.3. The Hierarchical Blob......Page 215
5.5.3.1. First-Passage Time......Page 217
5.5.3.2. First-Passage Probability......Page 218
6.2. First Passage between Concentric Spheres......Page 223
6.2.1. Splitting Probabilities......Page 224
6.2.2. First Passage to a Sphere in Radial Potential Flow......Page 226
6.2.3. Connection between Diffusion in General Dimension and Radial Drift in Two Dimensions......Page 228
6.3.1. Image Solution......Page 229
6.3.2. Efficient Simulation of Diffusion-Limited Aggregation......Page 231
6.4.2. Both Boundaries Absorbing......Page 233
6.4.3.1. Isotropic Diffusion in Arbitrary Spatial Dimension......Page 235
6.4.3.2. Radially Biased Diffusion in Two Dimensions......Page 237
6.5.1. Background......Page 238
6.5.2. Time-Dependent Solution for General d......Page 239
6.5.2.1. The Case ν < 0 or d > 2......Page 240
6.5.2.2. The Case ν ≥ 0 or d ≤ 2......Page 241
6.5.3. Elementary Time-Dependent Solution for d = 3......Page 242
6.5.4.1. Dimensions d < 2......Page 244
6.5.4.3. Dimensions d > 2......Page 245
6.5.5. Closest Particle to an Absorbing Sphere......Page 246
7.1. Why Study theWedge?......Page 249
7.2.1. Solution to the Diffusion Equation......Page 250
7.2.2. Physical Implications......Page 253
7.3. Three-Dimensional Cone......Page 254
7.4. Conformal Transformations and Electrostatic Methods......Page 256
7.4.1. Point Source and Line Sink......Page 257
7.4.2. General Wedge Angles......Page 259
7.5. First-Passage Times......Page 260
7.5.1. Infinite Two-Dimensional Wedge......Page 261
7.5.2. Pie Wedge in Two Dimensions......Page 262
7.5.3. Infinite Three-Dimensional Cone......Page 264
7.6. Extension to Time-Dependent First-Passage Properties......Page 265
8.1. Reactions as First-Passage Processes......Page 267
8.2. Kinetics of the Trapping Reaction......Page 269
8.2.1. Exact Solution in One Dimension......Page 270
8.2.1.1. Long-Time Behavior......Page 271
8.2.1.2. Short-Time Behavior......Page 272
8.2.2. Lifshitz Argument for General Spatial Dimension......Page 273
8.2.2.1. Isotropic Diffusion......Page 274
8.2.2.2. Biased Diffusion......Page 276
8.3. Reunions and Reactions of Three Diffusing Particles......Page 277
8.3.1. Prey Survival Probability......Page 278
8.3.1.1. Surrounded Prey......Page 279
8.3.1.2. Chased Prey......Page 281
8.3.2. Pair Meeting Probabilities......Page 282
8.3.3. Lead and Order Probabilities......Page 283
8.3.4. Extension to Arbitrary Number of Particles......Page 285
8.4.1. Basic Properties......Page 287
8.4.2. The Capture Reaction, p + P --> P......Page 288
8.4.3. Coalescence, A + A --> A......Page 292
8.4.4. Annihilation, A + A --> 0......Page 295
8.4.5.1. Introduction......Page 298
8.4.5.2. Solution for the Cluster Concentrations......Page 299
8.5.1. Two-Velocity Model......Page 303
8.5.2.1. Basic Phenomenology......Page 306
8.5.2.3. Fast-Impurity Limit......Page 307
References......Page 310
Index......Page 322