Finite Fields: Normal Bases and Completely Free Elements

فیلدهای محدود ساختارهای اساسی ریاضیات گسسته هستند. آنها به عنوان ساختارهای داده پایه در رشته های محض مانند هندسه محدود و ترکیبیات عمل می کنند، و همچنین علاقه زیادی به رشته های کاربردی مانند نظریه کدگذاری و رمزنگاری برانگیخته اند. نگاهی به موضوعات جلد مقالات سومین کنفرانس بین المللی فیلدهای محدود و کاربردهای آنها (گلاسکو، 1995) (نگاه کنید به [18])، یا به فهرست منابع در کتاب I. E. Shparlinski [47] (یک مقاله گسترده اخیر بررسی نظریه میدان‌های محدود با تاکید ویژه بر جنبه‌های محاسباتی، نشان می‌دهد که حوزه میدان‌های محدود پیشرفت فوق‌العاده‌ای را طی می‌کند. موضوع اصلی متن حاضر، مبانی معمولی معروف Theo rem است، که یک نتیجه کلاسیک از نظریه میدان است، که بیان می‌کند که در هر بسط گالوا با ابعاد محدود E بر F عنصری وجود دارد که مزدوج‌های آن در زیر گروه گالوا E بر F شکل می‌گیرد. یک پایه F از E (یعنی پایه عادی E بر F؛ w در E بر F آزاد نامیده می شود). برای میدان های محدود، قضیه مبانی نورمال برای اولین بار توسط K. Hensel [19] در سال 1888 اثبات شد. از آنجایی که پایه های نرمال در میدان های محدود در دو دهه اخیر ثابت شده است که برای انجام محاسبات حسابی بسیار مفید هستند، در حال حاضر، ساخت الگوریتمی و صریح (خاص) چنین پایه هایی به یکی از موضوعات اصلی تحقیقاتی در نظریه میدان محدود تبدیل شده است.

Finite Fields are fundamental structures of Discrete Mathematics. They serve as basic data structures in pure disciplines like Finite Geometries and Combinatorics, and also have aroused much interest in applied disciplines like Coding Theory and Cryptography. A look at the topics of the proceed­ ings volume of the Third International Conference on Finite Fields and Their Applications (Glasgow, 1995) (see [18]), or at the list of references in I. E. Shparlinski's book [47] (a recent extensive survey on the Theory of Finite Fields with particular emphasis on computational aspects), shows that the area of Finite Fields goes through a tremendous development. The central topic of the present text is the famous Normal Basis Theo­ rem, a classical result from field theory, stating that in every finite dimen­ sional Galois extension E over F there exists an element w whose conjugates under the Galois group of E over F form an F-basis of E (i. e. , a normal basis of E over F; w is called free in E over F). For finite fields, the Nor­ mal Basis Theorem has first been proved by K. Hensel [19] in 1888. Since normal bases in finite fields in the last two decades have been proved to be very useful for doing arithmetic computations, at present, the algorithmic and explicit construction of (particular) such bases has become one of the major research topics in Finite Field Theory.