Existence and Regularity Results for Some Shape Optimization Problems

​ما وجود و نظم دامنه‌های بهینه برای توابع را بسته به طیف دیریکله لاپلاسین یا عملگرهای عمومی شرودینگر مطالعه می‌کنیم. دامنه ها در معرض محدودیت های محیطی و حجمی هستند. ما همچنین وجود احتمالی موانع هندسی را در نظر می گیریم. ما خواص مجموعه های بهینه و توابع حالت بهینه را بررسی می کنیم. به طور خاص، ما ثابت می‌کنیم که توابع ویژه تا مرز Lipschitz پیوسته هستند و مجموعه‌های بهینه تحت محدودیت محیطی دارای مرز آزاد منظم هستند. ما همچنین مسائل بهینه‌سازی طیفی را در تنظیمات غیر اقلیدسی و مسائل بهینه‌سازی را برای پتانسیل‌ها و معیارها و همچنین مسائل پارتیشن چند فازی و بهینه در نظر می‌گیریم.

​We study the existence and regularity of optimal domains for functionals depending on the spectrum of the Dirichlet Laplacian or of more general Schrödinger operators. The domains are subject to perimeter and volume constraints; we also take into account the possible presence of geometric obstacles. We investigate the properties of the optimal sets and of the optimal state functions. In particular, we prove that the eigenfunctions are Lipschitz continuous up to the boundary and that the optimal sets subject to the perimeter constraint have regular free boundary. We also consider spectral optimization problems in non-Euclidean settings and optimization problems for potentials and measures, as well as multiphase and optimal partition problems.