Estimation in Semiparametric Models: Some Recent Developments

فرض کنید باید میانگین J x P(dx) (یا میانه P یا هر t;;(P) دیگر) را بر اساس i.i.d تخمین زد. مشاهدات از P. اگر چیزی در مورد P شناخته نشده است، میانگین نمونه مطمئناً بهترین تخمین‌گر است که می‌توان به آن فکر کرد. اگر P به عنوان عضوی از یک خانواده پارامتری مشخص شناخته می شود، بگویید {Po: {) E e}، معمولاً می توان با تخمین {) ابتدا، گفتن با {)(n)(.~.) و استفاده از آن، بهتر عمل کرد. J XPo(n)(;r.) (dx) به عنوان تخمینی برای J xPo(dx). یک محدوده \"متوسط\" وجود دارد که در آن چیزی در مورد اندازه احتمال ناشناخته P می دانیم، اما کمتر از آن چیزی است که نظریه پارامتری مسلم است. مشکلات عملی همیشه آماردانان را به اختراع برآوردگرهایی برای چنین مدل‌های میانی سوق داده است، اما معمولاً این موضوع که آیا این برآوردگرها تقریباً بهینه هستند یا خیر، باز باقی می‌ماند. یک استثنا وجود داشت: مورد \"انطباق\"، که در آن یک تخمین \"ناپارامتریک\" وجود دارد که به طور مجانبی برای هر مدل فرعی پارامتری بهینه است. نمونه استاندارد (و فقط برای مدت طولانی) چنین موقعیت خوش شانسی، تخمین مرکز تقارن برای توزیع شکل ناشناخته بود.

Assume one has to estimate the mean J x P( dx) (or the median of P, or any other functional t;;(P)) on the basis ofi.i.d. observations from P. Ifnothing is known about P, then the sample mean is certainly the best estimator one can think of. If P is known to be the member of a certain parametric family, say {Po: {) E e}, one can usually do better by estimating {) first, say by {)(n)(.~.), and using J XPo(n)(;r.) (dx) as an estimate for J xPo(dx). There is an "intermediate" range, where we know something about the unknown probability measure P, but less than parametric theory takes for granted. Practical problems have always led statisticians to invent estimators for such intermediate models, but it usually remained open whether these estimators are nearly optimal or not. There was one exception: The case of "adaptivity", where a "nonparametric" estimate exists which is asymptotically optimal for any parametric submodel. The standard (and for a long time only) example of such a fortunate situation was the estimation of the center of symmetry for a distribution of unknown shape.