Equations aux dérivées partielles

Couverture
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CHAPITRE 1. E.D.P. DU PREMIER ORDRE
Première partie : étude du système dx/P=dy/Q=dz/R
	I. DÉFINITIONS
	II. INTÉGRALES PREMIÈRES
	II.1. Définitions
	II.2. Fonctions indépendantes
	II.3. Résolution de S
Seconde partie : E.D.P. linéaires du premier ordre
	I. ETUDE DE f(x,y,z) ∂z/∂x + g(x,y,z) ∂z/∂y = h(x,y,z)
	II. CAS PARTICULIER f(x,y) ∂z/∂x + g(x,y) ∂z/∂y = 0
	III. PROBLEME DE CAUCHY
	111.1. Courbes caractéristiques, interprétation géométrique
	III.2. Résolution du problème de Cauchy
Troisième partie: E.D.P. non linéaires du premier ordre
	I. ENVELOPPES DE SURFACE
	I.1. Familles à un paramètre
	I.2. Familles a deux paramètres
	I.3. E.D.P. associée à une famille à deux paramètres
	II. ETUDE DE A(x,y)dx + B(x,y)dy = 0
	II.1. Définitions
	II.2. Cas particulier : ∂A/∂y = ∂B/∂x
	II.3. Cas général
	III. ETUDE DE A(x,y,z)dx + B(x,y,z)dy + C(x,y,z)dz = 0
	IV. RESOLUTION DE G(x,y,z,∂z/∂x,∂z/∂y) = 0
	V. PROBLEME DE CAUCHY
EXERCICES
CHAPITRE II. GENERALITES
	I. CONDITIONS AU BORD, CONDITIONS AUX LIMITES
	II. PRINCIPE DE SUPERPOSITION DANS LES EQUATIONS LINEAIRES
	II.l. Equations linéaires
	II.2. Principe de superposition
	II.3. Principe de superposition et conditions au bord
	III. UTILISATION DE TRANSFORMATIONS INTEGRALES
	III.l. Utilisation de la transformée de Laplace
	III.2. Utilisation de la transformée de Fourier
FORMULAIRE SUR LES TRANSFORMEES DE LAPLACE ET FOURIER
EXERCICES
CHAPITRE III. E.D.P. QUASI LINEAIRES DU SECOND ORDRE, CARACTERISTIQUES, CLASSIFICATION, FORMES STANDARD
INTRODUCTION
Première partie : Caractéristiques
	I. PROBLEME DE CAUCHY
	I.1. Caractéristiques
	I.2. Problème de Cauchy
	II. CLASSIFICATION
Seconde partie: Réduction à la forme standard
	I. CHANGEMENTS DE VARIABLES
	II. FORMES STANDARD
	II.1. Equations hyperboliques
	II.2. Equations paraboliques
	II.3. Equations elliptiques
	III. EQUATIONS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS
EXERCICES
CHAPITRE IV. METHODE DE SEPARATION DES VARIABLES
INTRODUCTION : Principe de la méthode de séparation des variables
Première partie: Opérateurs linéaires dans les espaces de Hilbert
	I. ESPACE DE HILBERT
	I.1. Produit scalaire et norme
	I.2. Convergence et espace de Hilbert
	II. ESPACES DE FONCTIONS DE CARRE INTEGRABLE
	II.1. Espace L²(a,b)
	II.2. Espace L²_σ (a,b)
	III. BASES D'UN ESPACE DE HILBERT
	III.1. Bases, approximation des moindres carrés
	III.2. Séries de Fourier
	IV. VALEURS PROPRES DES OPERATEURS LINEAIRES
Seconde partie: Problème de Sturm-Liouville et fonctions spéciales
	I. PROBLEME REGULIER DE STURM-LIOUVILLE
	II. PROBLEME PERIODIQUE DE STURM-LIOUVILLE
	III. QUELQUES PROBLEMES SINGULIERS: FONCTIONS SPECIALES
	III.1. Polynômes de Legendre, harmoniques sphériques
	III.2. Polynômes d'Hermite et de Laguerre
	III.3. Fonctions de Bessel
	III.4. Transformée de Hankel
Troisième partie: Méthode de séparation des variables
	I. EXPOSE DE LA METHODE
	II. DERIVATION DES SERIES DE FONCTIONS DE 2 VARIABLES
	III. ETUDE D'UN EXEMPLE
	IV. SOLUTIONS APPROCHEES
	V. SERIES DE FOURIER MULTIPLES
EXERCICES
CHAPITRE V. EQUATIONS HYPERBOLIQUES, EQUATIONS DES ONDES
Première partie : Equations du premier ordre
	I. ∂u/∂t + ∂u/∂x = 0
	I.l. Solutions générales et problème de Cauchy
	I.2. Propagation des ondes
	II.∂u₁/∂t + ∂u₁/∂x = 0, ∂u₂/∂t + ∂u₂/∂x = 0
	II.1. Etude générale
	II.2. Equations de l'acoustique
	II.3. Equations de Maxwell
	III. EQUATIONS RESOLUBLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
Seconde partie : Equations des ondes
	I. SOLUTIONS FAIBLES
	II. PROPAGATION DES ONDES
	II.l. Formule du parallèlogramme
	II.2. Domaines d'influence, de dépendance, de détermination
	III. EQUATION DES ONDES DANS R
	III.1. Formule de D'Alembert
	lII.2. Exemples
	IV. EQUATION DES ONDES DANS R^+
	IV.l. Extrémités fixes, ondes réfléchies
	IV.2. Extrémités libres
	V. EQUATION DES ONDES SUR UN INTERVALLE BORNE
	V.l. Réflexion des ondes
	V.2. Séparation des variables
	V.3. Solutions faibles
Troisième partie : Equation des ondes avec second membre
	I. METHODE DE RIEMANN
	I.1. Formule de Green-Riemann
	I.2. Equation avec second membre dans R
	I.3. Méthode de Riemann, équation des télégraphistes
	II. DONNEES SUR LES CARACTERISTIQUES
	II.1. Données sur deux caractéristiques : Pb de Goursat
	II.2. Données sur une caractéristique
	III. EQUATION AVEC SECOND MEMBRE SUR UN INTERVALLE BORNE : SEPARATION DES VARIABLES
Quatrième partie: Equation des ondes dans R² ou R³
	I. RAPPEL DE GEOMETRIE
	II. EQUATION DES ONDES DANS R³
	II.l. Formule de Kirchhoff
	II.2. Principe d'Huyghens
	II.3. Ondes sphériques et ondes planes
	II.4. Potentiels retardés: équation avec second membre
	III. EQUATIONS DES ONDES DANS R², FORMULE DE POISSON
	IV. EQUATIONS DES ONDES DANS DES DOMAINES BORNES : SEPARATION DES VARIABLES
	IV.l. Equation des ondes dans un parallèlépipède
	IV.2. Vibrations d'une membrane circulaire
Cinquième partie : Energie et unicité
EXERCICES
CHAPITRE VI. EQUATION DE LA CHALEUR
Première partie: Généralités
	I. PRINCIPE DU MAXIMUM
	II. PROBLEMES DE VALEUR INITIALE (A)
	II.1. Equation de la chaleur sur R
	II.2. Equation avec second membre sur R
	II.3. Equation de la chaleur sur R^+
Seconde partie: Semi-groupe de la chaleur
	I. SOLUTION FONDAMENTALE
	I.1. Définition
	I.2. Solution fondamentale et théorie des distributions
	II. PROBLEMES DE VALEUR INITIALE (B)
	II.1. Problème sur R
	II.2. Unicité
	II.3. Un problème mal posé
	III. SEMI-GROUPE DE LA CHALEUR
	III.1. Définition
	III.2. Comportement des solutions
	IV. PROBLEMES DE VALEUR INITIALE DANS R² OU R³
Troisième partie : Séparation des variables
	I. ETUDE DE ∂u/∂t - ∂u²/∂x² = 0 pour 0 <= x <= l
	I.1. Problème régulier élémentaire
	I.2. Autre problème
	I.3. Autre problème
	I.4. Autre problème
	I.5. Utilisation de la transformée de Laplace
	II. RESOLUTION D'UN PROBLEME EN COORDONNEES CYLINDRIQUES
EXERCICES
CHAPITRE VII. EQUATION DE LAPLACE, FONCTIONS HARMONIQUES
INTRODUCTION
Première partie : Fonctions harmoniques
	I. FORMULES DE GREEN
	I.1. Formule d'Ostrogradski-Gauss
	I.2. Dérivée dans une direction
	I.3. Formules de Green
	I.4. Lemme de Green
	II. PROPRIETES DES FONCTIONS HARMONIQUES
	II.1. Théorème de la moyenne
	II.2. Principe du maximum
	II.3. Régularité des fonctions harmoniques
	III. PROBLEMES FRONTIERES
	III.1. Problème de Dirichlet
	III.2. Problème de Neumann
	III.3. Problème mixte
Seconde partie: Problèmes frontières dans R²
	I. PROBLEMES DE DIRICHLET RELATIFS A UN DISQUE
	I.1. Donnée frontière de classe C²
	1.2. Donnée frontière continue : noyau de Poisson
	1.3. Donnée frontière discontinue
	1.4. Problème extérieur
	II. AUTRES PROBLEMES DANS DES DOMAINES BORNES
	II.1. Problème de Dirichlet dans un rectangle
	II.2. Un contre exemple (équation d'Helmholtz)
	II.3. Problème de Neumann pour un disque
	III. DOMAINES A FRONTIERE NON BORNEE
	III.1. Noyau de Poisson du demi-plan y > 0
	III.2. Donnée frontière discontinue
	III.3. Mise en garde et compléments
	III.4. Problème de Neumann dans le demi-plan
Troisième partie : Problèmes frontières dans R³
	1. PROBLEME DE DIRICHLET POUR UNE SPHERE, HARMONIQUES SPHERIQUES
	II. PROBLEME DE DIRICHLET POUR UN CYLINDRE
Quatrième partie Fonctions de Green
EXERCICES
INDEX