Endomorphism Rings of Abelian Groups

هر گروه آبلی را می توان به یک حلقه تداعی با یک عنصر هویتی مرتبط دانست، حلقه ای از تمام درون شکل های آن. اخیراً نظریه حلقه‌های فیسم اندومور گروه‌های آبلی به منطقه‌ای از جبر به سرعت در حال توسعه تبدیل شده است. از یک سو می توان آن را جزئی از نظریه گروه های آبلی دانست; از سوی دیگر، این نظریه را می‌توان شاخه‌ای از نظریه حلقه‌های اندومورفیسم مدول‌ها و نظریه بازنمایی حلقه‌ها دانست. دلایل متعددی برای مطالعه حلقه‌های اندومورفیسم گروه‌های آبلی وجود دارد: اول، این امکان را فراهم می‌کند که اطلاعات بیشتری در مورد خود گروه‌های آبلی به‌دست آوریم، مفاهیم و روش‌های جدیدی را معرفی کنیم، و طبقات جالب جدیدی از گروه‌ها را بیابیم. دوم، توسعه بیشتر تئوری ماژول ها و حلقه های اندومورفیسم آنها را تحریک می کند. تئوری حلقه‌های اندومورفیسم همچنین می‌تواند برای مطالعات ساختار گروه‌های افزودنی حلقه‌ها، مدول‌های E و ویژگی‌های همسانی گروه‌های آبلی مفید باشد. کتاب‌های بائر [52] و کاپلانسکی [245] نقش مهمی در توسعه اولیه نظریه حلقه‌های اندومورفیسم گروه‌ها و مدول‌های آبلی ایفا کرده‌اند. حلقه های اندومورفیسم گروه های آبلی در تک نگاری های فوکس [170]، [172] و [173] بسیار مطالعه شده است. حلقه‌های اندومورفیسم نیز در آثار کوروش [287]، آرنولد [31] و بنعبدالله [63] مورد مطالعه قرار گرفته‌اند.

Every Abelian group can be related to an associative ring with an identity element, the ring of all its endomorphisms. Recently the theory of endomor­ phism rings of Abelian groups has become a rapidly developing area of algebra. On the one hand, it can be considered as a part of the theory of Abelian groups; on the other hand, the theory can be considered as a branch of the theory of endomorphism rings of modules and the representation theory of rings. There are several reasons for studying endomorphism rings of Abelian groups: first, it makes it possible to acquire additional information about Abelian groups themselves, to introduce new concepts and methods, and to find new interesting classes of groups; second, it stimulates further develop­ ment of the theory of modules and their endomorphism rings. The theory of endomorphism rings can also be useful for studies of the structure of additive groups of rings, E-modules, and homological properties of Abelian groups. The books of Baer [52] and Kaplansky [245] have played an important role in the early development of the theory of endomorphism rings of Abelian groups and modules. Endomorphism rings of Abelian groups are much stu­ died in monographs of Fuchs [170], [172], and [173]. Endomorphism rings are also studied in the works of Kurosh [287], Arnold [31], and Benabdallah [63].