Elliptic Quantum Groups: Representations and Related Geometry

این اولین کتاب در مورد گروه های کوانتومی بیضوی است، یعنی گروه های کوانتومی مرتبط با راه حل های بیضوی معادله یانگ-باکستر. بر اساس تحقیقات نویسنده و همکارانش، کتاب یک بررسی جامع در مورد این موضوع شامل تاریخچه مختصری از فرمول‌بندی‌ها و کاربردها، فرمول‌بندی دقیق گروه کوانتومی بیضوی در تحقق Drinfeld، ساخت صریح هر دو بعد محدود و بی‌بعد ارائه می‌کند. بازنمایی ها و ساخت عملگرهای رأس به عنوان عملگرهای درهم تنیده این نمایش ها. عملگرهای رأس اشیاء مهمی در نظریه نمایش گروه‌های کوانتومی هستند. در این کتاب از آنها برای استخراج معادلات q-KZ بیضوی و راه حل های انتگرال فرا هندسی بیضوی آنها استفاده شده است. به طور خاص، به اصطلاح توابع وزن بیضوی در چنین راه حل هایی ظاهر می شود. مطالعه اخیر نویسنده نشان داد که این توابع وزن بیضوی با پوشش‌های پایدار بیضوی Okounkov برای هم‌شناسی بیضوی معادل مشخصی شناسایی می‌شوند و نقش مهمی در ساختن نمایش‌های هندسی گروه‌های کوانتومی بیضوی دارند. رویکرد هندسی اوکونکوف به سیستم‌های انتگرال‌پذیر کوانتومی، موضوعی است که به سرعت در حال رشد است در فیزیک ریاضی مربوط به Bethe ansatz، مکاتبات Alday-Gaiotto-Tachikawa بین نظریه‌های گیج 4 بعدی SUSY و CFT، و مکاتبات Nekrasov-Shatashvilium quantashvilium. . دعوت خواننده به چنین موضوعاتی یکی از اهداف این کتاب است.

This is the first book on elliptic quantum groups, i.e., quantum groups associated to elliptic solutions of the Yang-Baxter equation. Based on research by the author and his collaborators, the book presents a comprehensive survey on the subject including a brief history of formulations and applications, a detailed formulation of the elliptic quantum group in the Drinfeld realization, explicit construction of both finite and infinite-dimensional representations, and a construction of the vertex operators as intertwining operators of these representations. The vertex operators are important objects in representation theory of quantum groups. In this book, they are used to derive the elliptic q-KZ equations and their elliptic hypergeometric integral solutions. In particular, the so-called elliptic weight functions appear in such solutions. The author’s recent study showed that these elliptic weight functions are identified with Okounkov’s elliptic stable envelopes for certain equivariant elliptic cohomology and play an important role to construct geometric representations of elliptic quantum groups. Okounkov’s geometric approach to quantum integrable systems is a rapidly growing topic in mathematical physics related to the Bethe ansatz, the Alday-Gaiotto-Tachikawa correspondence between 4D SUSY gauge theories and the CFT’s, and the Nekrasov-Shatashvili correspondences between quantum integrable systems and quantum cohomology. To invite the reader to such topics is one of the aims of this book.