Elements of the Theory of Generalized Inverses of Matrices

هدف این تک نگاری ارائه مقدمه ای مختصر بر نظریه معکوس های تعمیم یافته ماتریس ها است که برای رشته های ریاضی در مقطع کارشناسی قابل دسترسی است. اگرچه نتایج حاصل از این حوزه فعال تحقیقاتی از سال 1971 در تعدادی از کتاب‌های درسی عالی در سطح کارشناسی ارشد ظاهر شده است، اما مطالب برای استفاده در سطح کارشناسی پراکنده باقی مانده است. با این حال، ایده‌های اساسی آنقدر اساسی هستند که می‌توان از آن‌ها برای یکپارچه‌سازی موضوعات مختلفی استفاده کرد که یک دانشجوی کارشناسی دیده است اما شاید مرتبط نباشد. مطالب این تک نگاری ابتدا توسط نویسنده به عنوان یادداشت های سخنرانی برای سمینار ارشد ریاضیات در دانشگاه تنسی جمع آوری شد. در این سمینار یک جلسه در هفته برای سخنرانی در مورد موضوع بود، و جلسه دیگر برای اجازه دادن به دانشجویان برای ارائه راه حل برای تمرینات بود. در سه ماهه اول که سمینار برگزار شد، با دو مشکل عمده مواجه شد. اینها این بود که برخی از دانش‌آموزان فقط یک چهارم درس مورد نیاز را در تئوری ماتریس گذرانده بودند و به اندازه کافی با مقادیر ویژه، بردارهای ویژه و مفاهیم مرتبط آشنا نبودند و بسیاری از -v- از تمرین‌ها مستلزم استحکام بودند. به پیشنهاد ویراستار UMAP، رویکرد در مونوگراف حاضر این است که (1) مطالب را بر حسب فاکتورسازی رتبه کامل توسعه دهد و تمام بحث‌ها را با استفاده از مقادیر ویژه و بردارهای ویژه به تمرین‌ها واگذار کند، و (2) شامل یک ضمیمه از نکاتی برای تمرینات.

The purpose of this monograph is to provide a concise introduction to the theory of generalized inverses of matrices that is accessible to undergraduate mathematics majors. Although results from this active area of research have appeared in a number of excellent graduate level text­ books since 1971, material for use at the undergraduate level remains fragmented. The basic ideas are so fundamental, however, that they can be used to unify various topics that an undergraduate has seen but perhaps not related. Material in this monograph was first assembled by the author as lecture notes for the senior seminar in mathematics at the University of Tennessee. In this seminar one meeting per week was for a lecture on the subject matter, and another meeting was to permit students to present solutions to exercises. Two major problems were encountered the first quarter the seminar was given. These were that some of the students had had only the required one-quarter course in matrix theory and were not sufficiently familiar with eigenvalues, eigenvectors and related concepts, and that many -v- of the exercises required fortitude. At the suggestion of the UMAP Editor, the approach in the present monograph is (1) to develop the material in terms of full rank factoriza­ tions and to relegate all discussions using eigenvalues and eigenvectors to exercises, and (2) to include an appendix of hints for exercises.