Elements of Mathematics Functions of a Real Variable: Elementary Theory

این کتاب ترجمه انگلیسی آخرین ویرایش فرانسوی Fonctions d'une Variable Réelle بوربکی است.

فصل اول به مشتقات، بسط تیلور اختصاص دارد. ، قضیه افزایش های محدود، توابع محدب. در فصل دوم، ابتدا و انتگرال ها (در فواصل دلخواه) و همچنین وابستگی آنها به پارامترها مورد بررسی قرار گرفته است. توابع کلاسیک (نمایی، لگاریتمی، دایره ای و معکوس دایره ای) در فصل سوم بررسی شده است. فصل چهارم به بررسی کامل معادلات دیفرانسیل (وجود و ویژگی های واحد بودن راه حل ها، راه حل های تقریبی، وابستگی به پارامترها) و سیستم های معادلات دیفرانسیل خطی می پردازد. مطالعه محلی توابع (روابط مقایسه، بسط مجانبی) در فصل V، با پیوستی در زمینه های هاردی بررسی شده است. تئوری بسط های تیلور تعمیم یافته و فرمول اویلر-مک لورین در فصل ششم ارائه شده است و در فصل آخر برای مطالعه تابع گاما در خط واقعی و همچنین در صفحه مختلط اعمال می شود.

اگرچه موضوعات کتاب عمدتاً در سطح کارشناسی پیشرفته است، اما به طور کلی برای اهداف پیشرفته تر ارائه شده است: توابع مجاز به گرفتن مقادیر در فضاهای برداری توپولوژیکی، بسط مجانبی در یک مجموعه فیلتر شده مجهز به مقیاس مقایسه بررسی می شوند. ، قضایای وابستگی به پارامترهای معادلات دیفرانسیل به طور مستقیم برای مطالعه جریان های میدان های برداری روی منیفولدهای دیفرانسیل و غیره قابل استفاده هستند.

This book is an English translation of the last French edition of Bourbaki’s Fonctions d'une Variable Réelle.

The first chapter is devoted to derivatives, Taylor expansions, the finite increments theorem, convex functions. In the second chapter, primitives and integrals (on arbitrary intervals) are studied, as well as their dependence with respect to parameters. Classical functions (exponential, logarithmic, circular and inverse circular) are investigated in the third chapter. The fourth chapter gives a thorough treatment of differential equations (existence and unicity properties of solutions, approximate solutions, dependence on parameters) and of systems of linear differential equations. The local study of functions (comparison relations, asymptotic expansions) is treated in chapter V, with an appendix on Hardy fields. The theory of generalized Taylor expansions and the Euler-MacLaurin formula are presented in the sixth chapter, and applied in the last one to the study of the Gamma function on the real line as well as on the complex plane.

Although the topics of the book are mainly of an advanced undergraduate level, they are presented in the generality needed for more advanced purposes: functions allowed to take values in topological vector spaces, asymptotic expansions are treated on a filtered set equipped with a comparison scale, theorems on the dependence on parameters of differential equations are directly applicable to the study of flows of vector fields on differential manifolds, etc.