Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers

هدف این کتاب ارائه توضیحی از نظریه اعداد جبری است، بدون در نظر گرفتن نظریه میدان طبقه و پیامدهای آن. راه های زیادی برای توسعه این موضوع وجود دارد. آخرین روند، نادیده گرفتن نظریه کلاسیک آرمان‌های ددکیند به نفع روش‌های محلی است. با این حال، برای محاسبات عددی، که برای کاربردهای اعداد جبری در سایر حوزه‌های نظریه اعداد ضروری است، رویکرد قدیمی مناسب‌تر به نظر می‌رسد، اگرچه توضیح آن آشکارا طولانی‌تر است. از سوی دیگر رویکرد محلی برای اهداف تحلیلی قدرتمندتر است، همانطور که در پایان نامه تیت نشان داده شده است. بنابراین نویسنده سعی کرده است این دو رویکرد را با هم هماهنگ کند، و در چهار فصل اول، توضیحی مستقل از دیدگاه کلاسیک ارائه دهد و سپس به روش‌های محلی روی آورد. در فصل اول ما ابزارهای لازم را از تئوری حوزه‌های ددکیند و نظریه ارزش‌گذاری، از جمله ساختار ماژول‌های تولید شده محدود روی حوزه‌های ددکیند ارائه می‌کنیم. در فصول 2، 3 و 4 نظریه کلاسیک اعداد جبری توسعه یافته است. فصل 5 شامل مفاهیم بنیادی جالب نظریه میدان‌های p-adic است و فصل 6 کاربردهای آنها را برای مطالعه میدان‌های اعداد جبری آورده است. ما در اینجا اثبات شفر ویچ از قضیه کرونکر-وبر و همچنین ویژگی‌های اصلی آدل‌ها و ایدل‌ها را درج می‌کنیم.

The aim of this book is to present an exposition of the theory of alge­ braic numbers, excluding class-field theory and its consequences. There are many ways to develop this subject; the latest trend is to neglect the classical Dedekind theory of ideals in favour of local methods. However, for numeri­ cal computations, necessary for applications of algebraic numbers to other areas of number theory, the old approach seems more suitable, although its exposition is obviously longer. On the other hand the local approach is more powerful for analytical purposes, as demonstrated in Tate's thesis. Thus the author has tried to reconcile the two approaches, presenting a self-contained exposition of the classical standpoint in the first four chapters, and then turning to local methods. In the first chapter we present the necessary tools from the theory of Dedekind domains and valuation theory, including the structure of finitely generated modules over Dedekind domains. In Chapters 2, 3 and 4 the clas­ sical theory of algebraic numbers is developed. Chapter 5 contains the fun­ damental notions of the theory of p-adic fields, and Chapter 6 brings their applications to the study of algebraic number fields. We include here Shafare­ vich's proof of the Kronecker-Weber theorem, and also the main properties of adeles and ideles.