Einführung in die Geometrie und Topologie

این کتاب مقدمه ای بر توپولوژی، توپولوژی دیفرانسیل و هندسه دیفرانسیل ارائه می دهد. این بر اساس نسخه های خطی است که در چرخه های سخنرانی مختلف آزمایش شده است. در فصل اول، اصطلاحات و نتایج اولیه از توپولوژی نظریه مجموعه ارائه شده است. یک استثنا در این قضیه قضیه منحنی جردن است که برای چند ضلعی ها اثبات شده است و قصد دارد اولین ایده ای از نوع مسائل توپولوژیکی عمیق تر ارائه دهد. در فصل دوم، منیفولدها و گروه های Liesche با تعدادی مثال معرفی و نشان داده شده است. بسته‌های فضای مماس و برداری، دیفرانسیل‌ها، میدان‌های برداری و براکت‌های Liesche از میدان‌های برداری نیز مورد بحث قرار می‌گیرند. این بحث در فصل سوم عمیق‌تر می‌شود، که در آن هم‌شناسی د رام و انتگرال جهت‌یافته معرفی شده و قضیه نقطه ثابت بروور، قضیه تجزیه جردن- بروور و فرمول انتگرال استوکس اثبات می‌شود. فصل چهارم پایانی به مبانی هندسه دیفرانسیل اختصاص دارد. اتصالات و انحنا، مفاهیم اصلی هندسه دیفرانسیل، در امتداد خطوط توسعه ای مورد بحث قرار می گیرند که هندسه منحنی ها و زیرمنیفولدها در فضاهای اقلیدسی از آن عبور کرده است. نکته برجسته معادلات گاوس است، نسخه ای از نظریه egregium گاوس برای زیرمنیفولدها با هر بعد و ابعادی.

این کتاب عمدتاً برای دانشجویان سال دوم و سوم ریاضی و فیزیک طراحی شده است و به عنوان یک کتاب در دسترس است. الگوی مناسب برای یک یا دو ترم سخنرانی.

Das Buch bietet eine Einführung in die Topologie, Differentialtopologie und Differentialgeometrie. Es basiert auf Manuskripten, die in verschiedenen Vorlesungszyklen erprobt wurden. Im ersten Kapitel werden grundlegende Begriffe und Resultate aus der mengentheoretischen Topologie bereitgestellt. Eine Ausnahme hiervon bildet der Jordansche Kurvensatz, der für Polygonzüge bewiesen wird und eine erste Idee davon vermitteln soll, welcher Art tiefere topologische Probleme sind. Im zweiten Kapitel werden Mannigfaltigkeiten und Liesche Gruppen eingeführt und an einer Reihe von Beispielen veranschaulicht. Diskutiert werden auch Tangential- und Vektorraumbündel, Differentiale, Vektorfelder und Liesche Klammern von Vektorfeldern. Weiter vertieft wird diese Diskussion im dritten Kapitel, in dem die de Rhamsche Kohomologie und das orientierte Integral eingeführt und der Brouwersche Fixpunktsatz, der Jordan-Brouwersche Zerlegungssatz und die Integralformel von Stokes bewiesen werden. Das abschließende vierte Kapitel ist den Grundlagen der Differentialgeometrie gewidmet. Entlang der Entwicklungslinien, die die Geometrie der Kurven und Untermannigfaltigkeiten in Euklidischen Räumen durchlaufen hat, werden Zusammenhänge und Krümmung, die zentralen Konzepte der Differentialgeometrie, diskutiert. Den Höhepunkt bilden die Gaussgleichungen, die Version des theorema egregium von Gauss für Untermannigfaltigkeiten beliebiger Dimension und Kodimension.

Das Buch richtet sich in erster Linie an Mathematik- und Physikstudenten im zweiten und dritten Studienjahr und ist als Vorlage für ein- oder zweisemestrige Vorlesungen geeignet.