Dynamiques complexes et morphogenèse: introduction aux sciences non linéaires

Cover......Page 1
Dynamiques complexes
et morphogenèse......Page 4
ISBN : 9782817801933......Page 5
Avant-propos
......Page 7
Table of Contents......Page 8
Table des illustrations......Page 16
Chapitre 1 Présentation des grandes lignes......Page 21
2.1.1 Énergie potentielle et position d\'équilibre......Page 34
2.1.2 Une explication intuitive de l\'existence d\'une bifurcation......Page 37
2.1.4 Universalité au voisinage d\'un point de bifurcation......Page 38
2.2 Analogie entre une bifurcation fourche et une transition de phase du deuxième ordre......Page 40
2.3 Considérations dynamiques......Page 41
2.3.1 Analyse de stabilité linéaire......Page 42
2.3.2 Ralentissement critique......Page 43
2.3.3 Élimination adiabatique des modes rapides -réduction du nombre de degrés de liberté......Page 44
2.3.4 Équation d\'amplitude......Page 46
2.3.5 Forme canonique de l\'équation d\'amplitude......Page 47
2.3.6 Attracteurs de la dynamique......Page 48
2.3.8 Brisure de symétries......Page 49
2.4 Systèmes dynamiques et importance de la bifurcation fourche......Page 50
3.1 Bifurcation imparfaite; brisure extrinséque de symétrie......Page 51
3.1.1 Un avant-goût de la théorie des catastrophes......Page 56
3.2 Bifurcation sous-critique et multistabilité......Page 58
3.2.1 Métastabilité et rôle des fluctuations......Page 63
3.2.2 Cycle d\'hystérésis.......Page 64
3.3 Bifurcation transcritique......Page 65
3.3.1 Stabilité linéaire des points fixes......Page 67
3.4.1 Rappel du pendule simple......Page 69
3.4.2 Pendule simple en présence d\'une nouvelle force extérieure......Page 70
3.4.3 Stabilité linéaire......Page 71
3.4.5 Origine de la dénomination col-noeud.......Page 73
3.4.6 Mouvement de bascule ou de tumbling......Page 76
3.4.7 Digressions vers la biologie......Page 80
3.5 Définition d\'une bifurcation......Page 81
3.6 Théorie des catastrophes et stabilité structurelle......Page 82
3.6.2 Stabilité structurelle et subjectivité.......Page 83
3.7 En quoi consiste la théorie des catastrophes?......Page 84
3.7.1 lllustration de la théorie des catastrophes......Page 85
3.8 Stabilité structurelle avec un nombre infini d\'exceptions: les lieux des catastrophes!......Page 89
3.9.1 Problème: le plateau de Maxwell......Page 90
3.9.2 Problème: exemple d\'une bifurcation sous-critique......Page 91
3.9.4 Problème: Euler et le film de savon......Page 95
3.9.5 Problème: une bifurcation sous-critique possède une branche col-noeud......Page 102
Chapitre 4 Classification des sept catastrophes élémentaires......Page 104
4.1 Catastrophe pli ou point tournant......Page 105
4.1.1 Déploiement des singularités en des termes simples......Page 106
4.1.2 Comment le nombre de paramètres indépendants affectet-illa puissance de la singularité?......Page 108
4.1.3 Notion de codimension......Page 110
4.2 La catastrophe cusp......Page 111
4.3 La catastrophe queue d\'aronde......Page 114
4.4 La catastrophe papillon......Page 115
4.5 Qu\'en est-il des problèmes à plusieurs degrés de liberté?......Page 116
4.6 La catastrophe ombilic hyperbolique......Page 118
4.7 La catastrophe ombilic elliptique......Page 119
4.10 Remarques générales......Page 121
4.11.1 Problème: plus de détail sur la catastrophe ombilic hyperbolique......Page 123
5.1 L\'oscillateur de van der Pol......Page 125
5.1.1 Discussion qualitative......Page 128
5.1.2 Étude de la dynamique non linéaire......Page 129
5.1.3 Bifurcation de Hopf......Page 130
5.1.4 Espace des phases et cycle limite......Page 131
5.2.1 Résultats essentiels issus du modèle Lotka-Voltera (LV)......Page 134
5.2.2 Un modèle plus réaliste de la dynamique de populations conduisant à un cycle limite......Page 137
5.3.1 La loi d\'action et de masse......Page 140
5.3.2 Cinétique de réaction......Page 141
5.3.3 Équations d\'évolution non linéaires.......Page 142
5.3.4 Le Bruxellateur......Page 143
6.1 Derivation de l\'equation d\'amplitude......Page 145
6.1.1 Analyse multi-échelle......Page 146
6.1.2 Condition de solubilité ou de solvabilité......Page 150
6.1.3 Quelques précisions utiles sur l\'équation d\'amplitude......Page 153
6.1.5 Propriétés de l\'équation d\'amplitude complexe......Page 154
6.2 Cycle limite instable......Page 156
6.4.1 Problème: solution dépendante du temps de l\'équation d\'amplitude complexe......Page 158
6.4.2 Problème: dérivation de l\'équation d\'amplitude complexe pour le modèle « Bruxellateur»......Page 160
7.1 Exemple simple d\'une excitationparamétrique......Page 165
7.2 Instabilité sous-harmonique......Page 166
7.3 Image intuitive de la résonance paramétrique......Page 168
7.4 Équation d\'amplitude universelle au voisinage d\'une résonance sous-harmonique......Page 170
7.4.1 Détermination de l\'équation non linéaire à partir des propriétés de symétrie......Page 172
7.5 Instabilité non linéaire.......Page 173
7.6 Accrochage de la phase......Page 174
7.6.1 Forçage non résonant......Page 175
7.6.2 Forçage résonant......Page 176
7.6.4 Accrochage d\'ordre supérieur: équation générale obtenue par les symétries......Page 177
7.8 Problème: instabilités des harmoniques supérieures, et effet du frottement......Page 180
8.1 Un exemple typique......Page 185
8.2 Où l\'avenir d\'une population dépend d\'un seul individu!......Page 186
8.2.1 D\'un point fixe simple au chaos......Page 188
8.3 Origine et signification de l\'application f(x) = 4ax(1 - x)......Page 189
8.4 Quelle différence entre hasard et chaos?......Page 192
8.5 Quelques commentaires sur la dynamique de populations et courbe logistique......Page 194
8.6 Approche géométrique de la section de Poincaré......Page 195
8.8 Les trois scénarios de transition vers le chaos......Page 196
8.10 Transition vers le chaos par un scénario de quasi-périodicité......Page 200
8.11 Transition vers le chaos par intermittence......Page 202
8.12.2 Stabilité des points fixes......Page 204
8.12.3 Point d\'accumulation de la cascade......Page 207
8.13 Dimension critique pour obtenir du chaos.......Page 209
8.14.1 Définition......Page 212
8.14.2 Propriétés des exposants de Lyapunov......Page 213
8.15 Autosimilarité et fractales......Page 214
8.16 Crises......Page 218
8.17.1 L\'application tente......Page 221
8.17.2 Sensibilité de l\'application tente aux conditions initiales......Page 223
8.17.3 Jouer à la roulette ou au chaos?......Page 224
8.17.4 Mesure invariante......Page 225
8.18 Le contrôle du chaos......Page 227
9.1 Introduction......Page 229
9.2 Le système de Turing......Page 231
9.2.1 Image qualitative de l\'instabilité de Turing......Page 232
9.3 Analyse de stabilité linéaire du système de Turing......Page 234
9.4 Définition d\'une instabilité de Turing......Page 235
9.4.1 Naissance de l\'ordre......Page 236
9.4.2 Condition de Turing pour la naissance de l\'ordre......Page 237
9.5 Introduction de quelques modèles donnant lieu aux structures de Turing......Page 239
9.5.1 Le modèle de Schnackenberg......Page 240
9.5.2 Le modèle de Lengyel-Epstein......Page 241
9.6 Quelles conditions pour obtenirun inhibite ur qui diffuse suffisamment rapidement par rapport à l\'activateur?......Page 242
9.7 Au-delà de l\'instabilité linéaire de Turing......Page 244
9.8 Diverses formes de l\'instabilité de Turing rencontrées dans la nature......Page 245
9.9 Quel est l\'impact des structures de Turing sur la morphogenése dans la nature?......Page 247
9.10 Convection de Rayleigh-Bénard......Page 248
9.10.1 Argument heuristique pour la détermination du seuil de la convection de Rayleigh-Bénard......Page 251
9.11 Relation de dispersion pour la convection Rayleigh-Bénard......Page 255
9.11.1 Analyse de stabilité linéaire......Page 258
9.11.2 Rouleaux de convection......Page 264
Chapitre 10 Universalité au voisinage du seuil......Page 267
10.1 Équation d\'amplitude universelle.......Page 268
10.1.1 Introduction des échelles multiples......Page 270
10.1.2 Dérivation de l\'équation d\'amplitude......Page 273
10.2.1 La forme de l\'équation d\'amplitude obtenue à partir des symétries......Page 275
10.2.3 Forme canonique et autres formes équivalentes de l\'équation d\'amplitude......Page 276
10.2.4 Dynamique variationnelle de l\'équation d\'amplitude......Page 277
10.3 Instabilité d\'Eckhaus......Page 279
10.3.1 L\'instabilité d\'Eckhaus : une instabilité de la phase.......Page 281
10.4 Instabilité d\'Eckhaus : mort et création de cellules......Page 283
10.5 Quelques remarques sur les instabilités des structures unidimensionnelles......Page 284
Chapitre 11 Fronts entre domaines et invasion d\'un etat par un autre......Page 286
11.1.1 Notion de front......Page 288
11.1.2 Analogie avec la mécanique de Newton.......Page 290
11.1.3 Détermination de la vitesse d\'invasion d\'une solution métastable par une solution stable......Page 292
11.2 Invasion de la solution instable par une solution stable......Page 294
11.3 L\'approximation du front précurseur.......Page 296
11.3.1 Instabilité de la solution correspondant à v < v*......Page 298
11.3.2 Stabilité marginale......Page 302
11.4 Conclusion......Page 303
11.5.1 Problème: détermination explicite de la vitesse d\'invasion d\'une solution métastable par une solution stable......Page 304
Chapitre 12 Ordre et désordre spatial et temporel au voisinage d\'une bifurcation de Hopf......Page 305
12.1.1 Quelques préliminaires.......Page 306
12.1.2 Dérivation de l\'équation d\'amplitude à partir des symétries......Page 309
12.2 Dynamique non variationnelle......Page 311
12.3.1 Ondes planes et stabilité.......Page 312
12.3.2 Instabilité de Benjamin-Feir......Page 314
12.4.1 Ondes planes......Page 315
12.4.2 Turbulence de phase et turbulence médiée par des défauts topologiques.......Page 316
12.4.4 Les trous de Bekki-Nozaki......Page 319
12.5.1 Problème: équation de Kuramoto-Sivashinsky au voisinage de l\'instabilité de Benjamin-Feir......Page 320
13.1 Ordre à deux dimensions......Page 323
13.1.1 Les différents types d\'ordre spatial à deux dimensions......Page 325
13.2 Raison de l\'abondance des structures hexagonales dans la nature......Page 327
13.2.1 émergence des structures hexagonales : non-linéarité quadratique et phénomène de résonance......Page 329
13.2.2 Inhibition des structures hexagonales: cas de la convection de Rayleigh-Bénard......Page 332
13.3.1 Symétrie hexagonale......Page 334
13.3.2 Symétrie carrée......Page 336
13.4 Stabilité des structures en bandes, carrées et hexagonales......Page 337
13.4.1 Stabilité des bandes......Page 340
13.4.2 Stabilité des hexagones......Page 341
13.4.3 Stabilité des structures carrées......Page 344
13.5 Équation d\'amplitude de structures bidimensionnelles à symétrie hexagonale.......Page 345
13.6.1 Problème: dérivation formelle de l\'équation d\'amplitude......Page 346
13.6.2 Problème: dérivation de l\'équation d\'amplitude à partir de considérations des harmoniques......Page 347
Chapitre 14 Conclusion......Page 349
14.1 Instabilités secondaires......Page 350
14.2 Structures à deux dimensions et bifurcation de Hopf......Page 351
14.3 Systèmes non réductibles à une équation d\'amplitude......Page 352
14.4 Mûrissement des structures hors équilibre......Page 353
14.5 Branches et formes variées en matière inerte et vivante......Page 354
14.6 Vers une science des systèmes complexes......Page 359
Remerciements......Page 361
Bibliographie......Page 362
Sources des illustrations......Page 367
Index......Page 368