Dynamical and Geometric Aspects of Hamilton-Jacobi and Linearized Monge-Ampère Equations: VIASM 2016

شامل دو بخش، بخش اول این مجلد اساساً توضیحی مستقل از جنبه‌های هندسی نظریه نظم محلی و جهانی برای معادلات Monge-Ampère و خطی Monge-Ampère است. به عنوان یک برنامه، ما دومین مسئله مقدار مرزی معادله انحنای میانگین افین تجویز شده را حل می کنیم، که می تواند به عنوان یک جفت از دو معادله اخیر مشاهده شود. معادله خطی شده Monge-Ampère که در نوع خود جالب است، همچنین دارای اتصالات و کاربردهای عمیق در تجزیه و تحلیل، مکانیک سیالات و هندسه است، از جمله معادلات نیمه زمین شناسی در جریان های جوی، معادله سطح حداکثر در هندسه آفین و مشکل یافتن. معیارهای کاهلر انحنای اسکالر ثابت در هندسه پیچیده

در میان موضوعات دیگر، بخش دوم توضیح کاملی از رفتار زمان بزرگ و تقریب تنزیل شده معادلات همیلتون-جاکوبی، که در دو دهه اخیر بسیار مورد توجه قرار گرفته است، و رویکرد جدیدی به موضوع ارائه می‌کند. ، روش الحاقی غیرخطی، معرفی شده است. ضمیمه مقدمه ای کوتاه بر تئوری راه حل های ویسکوزیته معادلات مرتبه اول همیلتون-جاکوبی ارائه می دهد.

Consisting of two parts, the first part of this volume is an essentially self-contained exposition of the geometric aspects of local and global regularity theory for the Monge–Ampère and linearized Monge–Ampère equations. As an application, we solve the second boundary value problem of the prescribed affine mean curvature equation, which can be viewed as a coupling of the latter two equations. Of interest in its own right, the linearized Monge–Ampère equation also has deep connections and applications in analysis, fluid mechanics and geometry, including the semi-geostrophic equations in atmospheric flows, the affine maximal surface equation in affine geometry and the problem of finding Kahler metrics of constant scalar curvature in complex geometry.

Among other topics, the second part provides a thorough exposition of the large time behavior and discounted approximation of Hamilton–Jacobi equations, which have received much attention in the last two decades, and a new approach to the subject, the nonlinear adjoint method, is introduced. The appendix offers a short introduction to the theory of viscosity solutions of first-order Hamilton–Jacobi equations.