Double Affine Hecke Algebras

Preface......Page 7
Contents......Page 9
0.0.1 Real and imaginary......Page 15
0.0.2 New vintage......Page 17
0.0.3 Hecke algebras......Page 18
0.1.1 Fusion procedure......Page 20
0.1.2 Symmetric spaces......Page 21
0.1.3 KZ and r–matrices......Page 22
0.1.4 Integral formulas for KZ......Page 23
0.1.5 From KZ to spherical functions......Page 24
0.2 Double Hecke algebras......Page 25
0.2.1 Missing link?......Page 26
0.2.2 Gauss integrals and sums......Page 28
0.2.3 Difference setup......Page 29
0.2.4 Other directions......Page 30
0.3.1 Unitary theories......Page 34
0.3.2 From Lie groups to DAHA......Page 36
0.3.3 Elliptic theory......Page 38
0.4.1 Abstract Verlinde algebras......Page 41
0.4.2 Operator Verlinde algebras......Page 43
0.4.3 Double Hecke Algebra......Page 44
0.4.4 Nonsymmetric Verlinde algebras......Page 46
0.4.5 Topological interpretation......Page 47
0.5.1 Flat deformation......Page 49
0.5.2 Rational degeneration......Page 50
0.5.3 Gaussian sums......Page 51
0.5.4 Classification......Page 52
0.5.5 Weyl algebra......Page 53
0.5.6 Diagonal coinvariants......Page 55
1.0 Soliton connection......Page 57
1.0.1 Classical r–matrices......Page 58
1.0.2 Tau function and coinvariant......Page 60
1.1 Affine KZ equation......Page 61
1.1.1 Hypergeometric equation......Page 62
1.1.2 AKZ equation of type GL......Page 64
1.1.3 Degenerate affine Hecke algebra......Page 67
1.1.4 Examples......Page 69
1.2 Isomorphism theorems for AKZ......Page 70
1.2.1 Induced representations......Page 71
1.2.2 Monodromy of AKZ......Page 74
1.2.3 Lusztig’s isomorphisms......Page 77
1.2.4 AKZ is isomorphic to QMBP......Page 82
1.2.5 The GL–case......Page 88
1.3.1 Affine Hecke algebras......Page 90
1.3.2 Definition of QAKZ......Page 91
1.3.3 The monodromy cocycle......Page 95
1.3.4 Macdonald’s eigenvalue problem......Page 96
1.3.5 Macdonald’s operators......Page 102
1.3.6 Arbitrary root systems......Page 104
1.4.1 Rogers’ polynomials......Page 106
1.4.2 A Hecke algebra approach......Page 108
1.4.3 The GL–case......Page 112
1.5.1 Abstract r–matrices......Page 119
1.5.2 Degenerate DAHA......Page 122
1.5.3 Elliptic QMBP......Page 125
1.5.4 Double affine KZ......Page 129
1.6 Harish-Chandra inversion......Page 130
1.6.1 Affine Weyl groups......Page 132
1.6.2 Degenerate DAHA......Page 133
1.6.3 Differential representation......Page 134
1.6.4 Difference-rational case......Page 135
1.6.5 Opdam transform......Page 137
1.6.6 Inverse transform......Page 139
1.7 Factorization and r–matrices......Page 142
1.7.1 Basic trigonometric r–matrix......Page 143
1.7.2 Factorization and r–matrices......Page 145
1.7.3 Two conjectures......Page 149
1.7.4 Tau function......Page 150
1.8.1 Coinvariant......Page 152
1.8.2 Integral formulas......Page 155
1.8.3 Proof......Page 158
1.8.4 Comment on KZB......Page 165
2.0.1 Classical origins......Page 168
2.0.2 Main results......Page 169
2.0.3 Other directions......Page 170
2.1 Euler’s integral and Gaussian sum......Page 171
2.1.1 Euler’s integral, Riemann’s zeta......Page 172
2.1.2 Extension by q......Page 173
2.1.3 Mehta–Macdonald formula......Page 175
2.1.4 Hankel transform......Page 176
2.1.5 Gaussian sums......Page 177
2.2 Imaginary integration......Page 178
2.2.1 Macdonald’s measure......Page 179
2.2.2 Meromorphic continuations......Page 181
2.2.3 Using the constant term......Page 182
2.2.4 Shift operator......Page 185
2.2.5 Applications......Page 187
2.3.1 Sharp integration......Page 188
2.3.2 Sharp shift formula......Page 191
2.3.3 Roots of unity......Page 192
2.3.4 Gaussian sums......Page 193
2.3.5 Etingof’s theorem......Page 195
2.4 Nonsymmetric Hankel transform......Page 198
2.4.1 Operator approach......Page 199
2.4.2 Nonsymmetric theory......Page 201
2.4.3 Rational DAHA......Page 204
2.4.4 Finite dimensional modules......Page 205
2.4.5 Truncated Hankel transform......Page 207
2.5.1 Rogers’ polynomials......Page 209
2.5.2 Nonsymmetric polynomials......Page 211
2.5.3 Double affine Hecke algebra......Page 212
2.5.4 Back to Rogers’ polynomials......Page 215
2.5.5 Conjugated polynomials......Page 216
2.6 Four corollaries......Page 217
2.6.1 Basic definitions......Page 218
2.6.2 Creation operators......Page 219
2.6.3 Standard identities......Page 220
2.6.4 Changing k to k+1......Page 222
2.6.5 Shift formula......Page 223
2.6.6 Proof of the shift formula......Page 224
2.7 DAHA–Fourier transforms......Page 226
2.7.1 Functional representation......Page 227
2.7.2 Proof of the master formulas......Page 229
2.7.3 Topological interpretation......Page 230
2.7.4 Plancherel formulas......Page 234
2.7.5 Inverse transforms......Page 238
2.8 Finite dimensional modules......Page 239
2.8.1 Generic q, singular k......Page 240
2.8.2 Additional series......Page 245
2.8.3 Fourier transform......Page 246
2.8.4 Roots of unity q, generic k......Page 248
2.9 Classification, Verlinde algebras......Page 251
2.9.1 The classification list......Page 252
2.9.2 Special spherical representations......Page 254
2.9.3 Perfect representations......Page 260
2.10 Little double Hecke algebra......Page 265
2.10.1 The case of odd N......Page 266
2.10.2 Little double H......Page 267
2.10.3 Half-integral k......Page 269
2.10.4 The negative case......Page 271
2.10.5 Deforming Verlinde algebras......Page 273
2.11 DAHA and p–adic theory......Page 275
2.11.1 Affine Weyl group......Page 276
2.11.2 Affine Hecke algebra......Page 277
2.11.3 Deforming p–adic formulas......Page 279
2.11.4 Fourier transform......Page 281
2.11.5 One-dimensional case......Page 282
2.12 Degenerate DAHA......Page 284
2.12.1 Definition of DAHA......Page 285
2.12.2 Polynomials, intertwiners......Page 287
2.12.3 Trigonometric degeneration......Page 288
2.12.4 Rational degeneration......Page 291
2.12.5 Diagonal coinvariants......Page 293
3.0.1 Fourier theory......Page 295
3.0.2 Perfect representations......Page 300
3.0.3 Affine Hecke algebras......Page 302
3.0.4 Gauss–Selberg integrals and sums......Page 303
3.0.5 From generic q to roots of unity......Page 304
3.1 Affine Weyl groups......Page 307
3.1.1 Affine roots......Page 308
3.1.2 Affine length function......Page 310
3.1.3 Reduction modulo W......Page 312
3.1.4 Partial ordering in P......Page 316
3.1.5 Arrows in P......Page 318
3.2.1 Main definition......Page 319
3.2.2 Automorphisms......Page 321
3.2.3 Demazure–Lusztig operators......Page 324
3.2.4 Filtrations......Page 325
3.3 Macdonald polynomials......Page 327
3.3.1 Definitions......Page 328
3.3.2 Spherical polynomials......Page 331
3.3.3 Intertwining operators......Page 334
3.3.4 Some applications......Page 337
3.4.1 Norm formulas......Page 339
3.4.2 Discretization......Page 340
3.4.3 Basic transforms......Page 342
3.4.4 Gauss integrals......Page 345
3.5 Jackson integrals......Page 348
3.5.1 Jackson transforms......Page 349
3.5.2 Gauss–Jackson integrals......Page 351
3.5.3 Macdonald\'s eta-identities......Page 353
3.6 Semisimple representations......Page 356
3.6.1 Eigenvectors and semisimplicity......Page 357
3.6.2 Main theorem......Page 363
3.6.3 Finite dimensional modules......Page 367
3.6.4 Roots of unity......Page 369
3.6.5 Comment on finite stabilizers......Page 370
3.7 The GL–case......Page 371
3.7.1 Generic k......Page 372
3.7.2 Periodic skew diagrams......Page 374
3.7.3 Partitions......Page 376
3.7.4 Equivalence......Page 378
3.7.5 The classification......Page 379
3.7.6 The column-row modules......Page 381
3.7.7 General representations......Page 383
3.8.1 Spherical and cospherical modules......Page 385
3.8.2 Primitive modules......Page 387
3.8.3 Semisimple spherical modules......Page 390
3.8.4 Spherical modules at roots of unity......Page 392
3.9.1 Notation......Page 396
3.9.2 When are induced cospherical?......Page 398
3.9.3 Irreducible cospherical modules......Page 401
3.9.4 Irreducibility of induced modules......Page 404
3.10 Gaussian and self-duality......Page 406
3.10.1 Gaussians......Page 407
3.10.2 Perfect representations......Page 408
3.10.3 Generic q, singular k......Page 413
3.10.4 Roots of unity......Page 417
3.11 DAHA and double polynomials......Page 421
3.11.1 Good reductions......Page 422
3.11.2 Main theorem......Page 423
3.11.3 Weyl algebra......Page 424
3.11.4 Universal DAHA......Page 427
3.11.5 Universal Dunkl operators......Page 429
3.11.6 Double polynomials......Page 430
Bibliography......Page 432
Index......Page 445