Dominated Operators

مفهوم عملگر تحت سلطه یا غیرمجاز بر یک ایده ساده استوار است که به روش کوشی ماژورانت ها برمی گردد. به زبان ساده، این ایده را می توان به صورت زیر بیان کرد. اگر یک عملگر (معادله) مورد مطالعه تحت تسلط عملگر (معادله) دیگری به نام غالب یا ماژورانت باشد، آنگاه ویژگی های دومی تأثیر قابل توجهی بر ویژگی های اولی دارد. بنابراین، عملگرها یا معادلاتی که دارای غالب \"nice\" هستند باید دارای ویژگی \"nice\" باشند. به عبارت دیگر، اپراتور با یک غالب واجد شرایط باید خودش واجد شرایط باشد. ابزارهای ریاضی، که ایده سلطه را به شکلی طبیعی و کامل قرار می دهند، توسط L. V. Kantorovich در 1935-1936 پیشنهاد شد. او مفهوم اساسی فضای برداری هنجار شده توسط عناصر یک شبکه برداری و عملگر خطی بین چنین فضاهایی را معرفی کرد که توسط یک عملگر زیرخطی خطی یا یکنواخت مثبت تسلط دارد. او همچنین این مفاهیم را برای حل معادلات تابعی به کار برد. در سال‌های بعد، بسیاری از نویسندگان موارد خاص مختلفی از فضاهای هنجار شبکه و کلاس‌های مختلف عملگرهای تحت سلطه را مطالعه کردند. با این حال، تحقیق در درون و با روح تئوری شبکه های بردار و هنجاری انجام شد. بنابراین، اغراق نیست اگر بگوییم اپراتورهای تحت سلطه، به عنوان اهداف مستقل تحقیق، برای نیم قرن از دسترس متخصصان خارج بودند. در نتیجه، مهم‌ترین ویژگی‌های ساختاری و برخی کاربردهای جالب عملگرهای تحت سلطه از اخیراً در دسترس قرار گرفته‌اند.

The notion of a dominated or rnajorized operator rests on a simple idea that goes as far back as the Cauchy method of majorants. Loosely speaking, the idea can be expressed as follows. If an operator (equation) under study is dominated by another operator (equation), called a dominant or majorant, then the properties of the latter have a substantial influence on the properties of the former . Thus, operators or equations that have "nice" dominants must possess "nice" properties. In other words, an operator with a somehow qualified dominant must be qualified itself. Mathematical tools, putting the idea of domination into a natural and complete form, were suggested by L. V. Kantorovich in 1935-36. He introduced the funda­ mental notion of a vector space normed by elements of a vector lattice and that of a linear operator between such spaces which is dominated by a positive linear or monotone sublinear operator. He also applied these notions to solving functional equations. In the succeedingyears many authors studied various particular cases of lattice­ normed spaces and different classes of dominated operators. However, research was performed within and in the spirit of the theory of vector and normed lattices. So, it is not an exaggeration to say that dominated operators, as independent objects of investigation, were beyond the reach of specialists for half a century. As a consequence, the most important structural properties and some interesting applications of dominated operators have become available since recently.