Dispersive Equations and Nonlinear Waves: Generalized Korteweg–de Vries, Nonlinear Schrödinger, Wave and Schrödinger Maps

بخش اول کتاب مقدمه‌ای بر ابزارها و تکنیک‌های کلیدی در معادلات پراکنده ارائه می‌کند: تخمین‌های استریچارتز، تخمین‌های دوخطی، مدولاسیون و فضاهای تابع تطبیقی، با کاربرد معادله Korteweg-de Vries تعمیم‌یافته و معادله Kadomtsev-Petviashvili. . معادله شرودینگر غیرخطی بحرانی انرژی، راه‌حل‌های کلی برای مسئله عدم تمرکز و پراکندگی تمرکز بخش دوم است. با استفاده از این مثال عینی، خواننده را از طریق تکنیک القاء انرژی، که به روشی ضروری برای مقابله با مشکلات مهم داده های بزرگ تبدیل شده است، راهنمایی می کند. این شامل تخمین‌های استریچارتز تصفیه‌شده/معکوس، وجود و تقریباً دوره‌ای بودن راه‌حل‌های حداقل انفجار، و ایجاد نابرابری‌های طولانی‌مدت استریچارتز است. بخش سوم نقشه های موج و شرودینگر را تشریح می کند. با ساخت اکتشافی در مورد تخمین های چند خطی شروع می شود، یک طرح کلی از این منطقه بسیار فعال PDE هندسی/پراکنده ارائه می دهد. این بر مفاهیم و ایده‌ها تمرکز دارد و باید برای دانشجویان فارغ‌التحصیل پله‌ای برای این مسیر هیجان‌انگیز پژوهشی فراهم کند.​

The first part of the book provides an introduction to key tools and techniques in dispersive equations: Strichartz estimates, bilinear estimates, modulation and adapted function spaces, with an application to the generalized Korteweg-de Vries equation and the Kadomtsev-Petviashvili equation. The energy-critical nonlinear Schrödinger equation, global solutions to the defocusing problem, and scattering are the focus of the second part. Using this concrete example, it walks the reader through the induction on energy technique, which has become the essential methodology for tackling large data critical problems. This includes refined/inverse Strichartz estimates, the existence and almost periodicity of minimal blow up solutions, and the development of long-time Strichartz inequalities. The third part describes wave and Schrödinger maps. Starting by building heuristics about multilinear estimates, it provides a detailed outline of this very active area of geometric/dispersive PDE. It focuses on concepts and ideas and should provide graduate students with a stepping stone to this exciting direction of research.​