Discrete Series of GLn Over a Finite Field. (AM-81)

در این کتاب، پروفسور لوشتیگ یک مسئله جالب را با روش‌های کاملاً جدید حل می‌کند: به طور خاص، استفاده از هم‌شناسی ساختمان‌ها و مجتمع‌های مرتبط. عضو برجسته، D(V)، از سری گسسته GL_n (F_q)، که در آن V فضای بردار F n بعدی است که در آن GL_n(F_q) عمل می کند. این یک نمایش p-adic است. به طور دقیق تر D(V) یک ماژول رایگان از رتبه (q--1) (q²--1)...(q^n-1--1 است ) بر روی حلقه بردارهای ویت W_F از F.

در فصل 1، نویسنده همسانی مجموعه‌های مرتب شده جزئی را مطالعه می‌کند و برخی از قضایای ناپدید شده را برای همسانی اثبات می‌کند. برخی از مجموعه های جزئی منظم مرتبط با ساختارهای هندسی. فصل 2 مطالعه در مورد نمایندگی است؟ از گروه وابسته در یک میدان محدود. در فصل 3 D(V) تعریف شده است و محدودیت آن به زیر گروه های سهموی تعیین می شود. در فصل 4 نویسنده شخصیت D(V) را محاسبه می‌کند و نشان می‌دهد که چگونه می‌توان سایر اعضای سری گسسته را با اعمال خودمورفیسم‌های Galois در D(V) بدست آورد. کاربردها در فصل 5 هستند. نویسنده به عنوان یکی از کاربردهای اصلی مطالعه خود، تجزیه و تحلیل دقیقی از برداشت برائر از نمایش استاندارد GL_n(F_q) ارائه می‌کند. .

In this book Professor Lusztig solves an interesting problem by entirely new methods: specifically, the use of cohomology of buildings and related complexes.

The book gives an explicit construction of one distinguished member, D(V), of the discrete series of GL_n (F_q), where V is the n-dimensional F-vector space on which GL_n(F_q) acts. This is a p-adic representation; more precisely D(V) is a free module of rank (q--1) (q²--1)...(q^n-1--1) over the ring of Witt vectors W_F of F.

In Chapter 1 the author studies the homology of partially ordered sets, and proves some vanishing theorems for the homology of some partially ordered sets associated to geometric structures. Chapter 2 is a study of the representation ? of the affine group over a finite field. In Chapter 3 D(V) is defined, and its restriction to parabolic subgroups is determined. In Chapter 4 the author computes the character of D(V), and shows how to obtain other members of the discrete series by applying Galois automorphisms to D(V). Applications are in Chapter 5. As one of the main applications of his study the author gives a precise analysis of a Brauer lifting of the standard representation of GL_n(F_q).