Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations

کتاب نچاس روشهای مستقیم در نظریه معادلات بیضوی که در سال 1967 به زبان فرانسه منتشر شد، به مرجع استانداردی برای نظریه ریاضی معادلات و سیستم های بیضوی خطی تبدیل شده است. این نسخه انگلیسی که توسط G. Tronel و A. Kufner ترجمه شده است، کار نچاس را اساساً به شکلی که در سال 1967 منتشر شده است ارائه می دهد. این نسخه بی زمان و به نوعی به بررسی قطعی تعدادی از مسائل در روش های متغیر برای سیستم های بیضوی و بالاتر می دهد. معادلات نظم این متن به دانشجویان فارغ التحصیل معادلات دیفرانسیل جزئی، دانشیاران فوق دکتری در تحلیل و دانشمندانی که با سیستم های بیضوی خطی کار می کنند توصیه می شود. در واقع، هر محققی که از نظریه سیستم‌های بیضوی استفاده می‌کند، از داشتن کتاب در کتابخانه‌اش سود می‌برد.

این جلد، ارائه‌ای مستقل از نظریه بیضوی بر اساس «روش مستقیم» ارائه می‌دهد. \"، همچنین به عنوان روش متغیر شناخته می شود. به دلیل جهانی بودن و ارتباط نزدیک با تقریب های عددی، روش تغییرات به یکی از مهم ترین رویکردهای نظریه بیضوی تبدیل شده است. این روش به اصل ماکزیمم یا سایر خواص ویژه معادلات بیضوی مرتبه دوم اسکالر متکی نیست و برای مدیریت سیستم‌های معادلات با نظم دلخواه مناسب است. نمونه های اولیه معادلات تحت پوشش نظریه، علاوه بر معادله استاندارد لاپلاس، سیستم کشش خطی لم و معادله بی هارمونیک (البته هر دو با ضرایب متغیر) هستند. شرایط بیضی عمومی مورد بحث قرار گرفته و بیشتر شرایط مرزی طبیعی پوشش داده شده است. مبانی لازم تئوری فضای تابع در طول مسیر، به شیوه ای بهینه توضیح داده شده است. الزام استاندارد مرزی در دامنه ها، پیوستگی لیپشیتز مرز است، که \"وقتی فراتر از معادلات اسکالر مرتبه دوم\" یک کلاس بسیار طبیعی است. این انتخاب ها منعکس کننده نظر نویسنده است که سیستم لم و معادلات بی هارمونیک به اندازه معادله لاپلاس مهم هستند، و اینکه کلاس حوزه هایی با مرز پیوسته لیپشیتز (در مقابل حوزه های صاف) طبیعی ترین دسته دامنه ها هستند. در ارتباط با این معادلات و کاربردهای آنها را در نظر بگیرید.

Nečas’ book Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations, published 1967 in French, has become a standard reference for the mathematical theory of linear elliptic equations and systems. This English edition, translated by G. Tronel and A. Kufner, presents Nečas’ work essentially in the form it was published in 1967. It gives a timeless and in some sense definitive treatment of a number issues in variational methods for elliptic systems and higher order equations. The text is recommended to graduate students of partial differential equations, postdoctoral associates in Analysis, and scientists working with linear elliptic systems. In fact, any researcher using the theory of elliptic systems will benefit from having the book in his library.

The volume gives a self-contained presentation of the elliptic theory based on the "direct method", also known as the variational method. Due to its universality and close connections to numerical approximations, the variational method has become one of the most important approaches to the elliptic theory. The method does not rely on the maximum principle or other special properties of the scalar second order elliptic equations, and it is ideally suited for handling systems of equations of arbitrary order. The prototypical examples of equations covered by the theory are, in addition to the standard Laplace equation, Lame’s system of linear elasticity and the biharmonic equation (both with variable coefficients, of course). General ellipticity conditions are discussed and most of the natural boundary condition is covered. The necessary foundations of the function space theory are explained along the way, in an arguably optimal manner. The standard boundary regularity requirement on the domains is the Lipschitz continuity of the boundary, which "when going beyond the scalar equations of second order" turns out to be a very natural class. These choices reflect the author's opinion that the Lame system and the biharmonic equations are just as important as the Laplace equation, and that the class of the domains with the Lipschitz continuous boundary (as opposed to smooth domains) is the most natural class of domains to consider in connection with these equations and their applications.