Dimensional Analysis Beyond the Pi Theorem

تحلیل ابعادی و تشابه فیزیکی موضوعاتی هستند که به خوبی قابل درک هستند و مفاهیم کلی تشابه دینامیکی در این کتاب توضیح داده شده است. شرح ما اساساً با موارد موجود در ادبیات متفاوت است، اگرچه از ایده های کلی معروف به قضیه Pi پیروی می کند. کتاب های بسیار عالی وجود دارد که می توان به آنها مراجعه کرد. با این حال، تجزیه و تحلیل ابعادی فراتر از قضیه پی است که به عنوان قضیه پای باکینگهام نیز شناخته می شود. بسیاری از تکنیک‌ها از طریق راه‌حل‌های خود مشابه، می‌توانند راه‌حل‌هایی را به مسائلی که غیرقابل حل به نظر می‌رسند، متصل کنند.

یک پدیده در حال توسعه زمانی خود مشابه نامیده می‌شود اگر توزیع فضایی ویژگی‌های آن باشد. در مقاطع مختلف زمانی را می توان با تبدیل تشابه و شناسایی یکی از متغیرهای مستقل به عنوان زمان از یکدیگر به دست آورد. با این حال، اینجا جایی است که تحلیل ابعادی از قضیه پی فراتر می رود و به خود شباهتی می رسد، که نشان دهنده پیشرفت برای محققان بوده است.

در سال های اخیر موجی از علاقه وجود داشته است. در راه حل های خود مشابه نوع اول و دوم. چنین راه حل هایی به تازگی کشف نشده اند. آنها توسط زلدوویچ، ریاضیدان مشهور روسی در سال 1956 شناسایی و نامگذاری شدند. آنها در زمینه مسائل مختلفی مانند امواج ضربه ای در دینامیک گاز، و فیلتراسیون از طریق مواد الاستو پلاستیک استفاده شده اند.

خود شباهت محاسبات و نمایش خصوصیات پدیده های مورد بررسی را ساده کرده است. داده‌های تجربی را مدیریت می‌کند، ابر تصادفی از نقاط تجربی را کاهش می‌دهد که روی یک منحنی یا سطح قرار می‌گیرند، و رویه‌هایی را می‌سازد که خود مشابه هستند. متغیرها را می توان به طور خاص برای محاسبات انتخاب کرد.

Dimensional Analysis and Physical Similarity are well understood subjects, and the general concepts of dynamical similarity are explained in this book. Our exposition is essentially different from those available in the literature, although it follows the general ideas known as Pi Theorem. There are many excellent books that one can refer to; however, dimensional analysis goes beyond Pi theorem, which is also known as Buckingham’s Pi Theorem. Many techniques via self-similar solutions can bound solutions to problems that seem intractable.

A time-developing phenomenon is called self-similar if the spatial distributions of its properties at different points in time can be obtained from one another by a similarity transformation, and identifying one of the independent variables as time. However, this is where Dimensional Analysis goes beyond Pi Theorem into self-similarity, which has represented progress for researchers.

In recent years there has been a surge of interest in self-similar solutions of the First and Second kind. Such solutions are not newly discovered; they have been identified and named by Zel’dovich, a famous Russian Mathematician in 1956. They have been used in the context of a variety of problems, such as shock waves in gas dynamics, and filtration through elasto-plastic materials.

Self-Similarity has simplified computations and the representation of the properties of phenomena under investigation. It handles experimental data, reduces what would be a random cloud of empirical points to lie on a single curve or surface, and constructs procedures that are self-similar. Variables can be specifically chosen for the calculations.