Differentialgeometrie und Minimalflächen

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Differentialgeometrie und Minimalflchen, Zweite Auflage

ISBN 9783540222279

Vorwort

Inhaltsverzeichnis

1. Der begriffliche Rahmen

  1.1 Geometrie
  1.2 Anschauliche und Analytische Geometrie
  1.3 Glattheit
  1.4 Messungen
  1.5 bungsaufgaben

2. Kurven

  2.1 Bogenlnge
  2.2 Die Variation der Bogenlnge
  2.3 Krmmung
  2.4 Totalkrmmung geschlossener ebener Kurven
  2.5 Totalkrmmung von Raumkurven
  2.6 Torsion
  2.7 bungsaufgaben

3. Die erste Fundamentalform

  3.1 Lnge und Winkel
  3.2 Skalarprodukte
  3.3 Flcheninhalt
  3.4 Zueinander isometrische Immersionen
  3.5 bungsaufgaben

4. Die zweite Fundamentalform

  4.1 Die Lagenderung des Tangentialraums
  4.2 Die Gauabbildung einer Hyperfche
  4.3 Weingarten-Abbildung
  4.4 Abstandsfunktion und Parallelhyperfchen
  4.5 Die lokale Gestalt einer Hyperfche
  4.6 Der Normalanteil des Krmmungsvektors
  4.7 Normalenschnitte
  4.8 bungsaufgaben

5. Geodten und Krzeste

  5.1 Die Variation der Bogenlnge auf Immersionen
  5.2 Die Differentialgleichung der Geodten
  5.3 Die geodtische Exponentialabbildung
  5.4 Krzeste Kurven
  5.5 bungsaufgaben

6. Die tangentiale Ableitung

  6.1 Die Christoffelsymbole
  6.2 Die Levi-Civita-Ableitung
  6.3 Vektorfelder lngs Kurven, Parallelitt
  6.4 Gradient und Hesseform
  6.5 bungsaufgaben

7. Nabelpunkte und konforme Abbildungen

  7.1 Nabelpunkthyperfchen
  7.2 Orthogonale Hyperfchensysteme
  7.3 Konforme Abbildungen
  7.4 Mbius-Transformationen
  7.5 Die Stereographische Projektion
  7.6 bungsaufgaben

8. Minimalfchen

  8.1 Variation des Flcheninhalts
  8.2 Minimaler Flcheninhalt
  8.3 Seifenhute und mittlere Krmmung
  8.4 Konforme Parameter und komplexe Zahlen
  8.5 Die Weierstra-Darstellung
  8.6 Konstruktion konformer Parameter
  8.7 Minimale Graphen und Satz von Bernstein
  8.8 bungsaufgaben

9. Das Plateau-Problem

  9.1 Einfhrung
  9.2 Flcheninhalt und Energie
  9.3 Das Dirichletsche Prinzip
  9.4 Bestimmung der Randparameter
  9.5 Schwache Konformitt
  9.6 Ausschluss von Verzweigungspunkten
  9.7 Harmonische Funktionen
  9.8 Holomorphe Funktionen
  9.9 bungsaufgaben

10. Minimalfchen und Maximumprinzip

  10.1 Das Maximumprinzip fr minimale Hyperfchen
  10.2 Hindernisse fr Minimalfchen
  10.3 bungsaufgaben

11. Innere und uere Geometrie

  11.1 Von der inneren zur Riemannschen Geometrie
  11.2 Die Levi-Civita-Ableitung
  11.3 Der Riemannsche Krmmungstensor
  11.4 Lokal euklidische Metriken
  11.5 Gau-Gleichung und Theorema Egregium
  11.6 bungsaufgaben

12. Krmmung und Gestalt

  12.1 Geodtische Koordinaten
  12.2 Die Jacobigleichung
  12.3 Die hyperbolische Ebene
  12.4 Geodtische Krmmung auf Flchen
  12.5 Der Satz von Gau-Bonnet
  12.6 Zusammenhangsform und Krmmung
  12.7 Der Satz von Gau-Bonnet im Groen
  12.8 bungsaufgaben

A. Integration

B. Gewhnliche Differentialgleichungen

Literatur

Sachverzeichnis