Differential Galois Theory and Non-Integrability of Hamiltonian Systems

این کتاب به رابطه بین دو مفهوم مختلف از یکپارچگی اختصاص دارد: یکپارچگی کامل سیستم های همیلتونی تحلیلی پیچیده و یکپارچگی معادلات دیفرانسیل خطی تحلیلی پیچیده. برای معادلات دیفرانسیل خطی، انتگرال پذیری در چارچوب تئوری دیفرانسیل گالوا دقیق ساخته شده است. ارتباط این دو مفهوم انتگرال پذیری توسط معادله تغییری (یعنی معادله خطی شده) در امتداد یک منحنی انتگرال خاص از سیستم همیلتونی ارائه می شود. ایده اکتشافی زیربنایی، که انگیزه نتایج اصلی ارائه شده در این مقاله است، این است که شرط لازم برای یکپارچگی یک سیستم همیلتونی، یکپارچگی معادله متغیر در امتداد هر یک از منحنی های انتگرالی خاص آن است. این ایده منجر به معیارهای جبری عدم ادغام برای سیستم های همیلتونی شد. این معیارها را می توان به عنوان تعمیم نتایج غیرقابلیت ادغام کلاسیک توسط پوانکاره و لیاپانوف و همچنین نتایج جدیدتر توسط زیگلین و یوشیدا در نظر گرفت. بنابراین، با استفاده از تئوری دیفرانسیل گالوا نه تنها می توان همه این رویکردها را به صورت یکپارچه درک کرد، بلکه آنها را نیز بهبود داد. چندین کاربرد مهم نیز گنجانده شده است: پتانسیل های همگن، مدل کیهان شناسی Bianchi IX، مشکل سه بدنه، سیستم هنون-هیلز و غیره.

این کتاب بر اساس تحقیقات مشترک اصلی نویسنده با J.M. Peris است. J.P. Ramis و C. Simó، اما تلاش شد تا این دستاوردها به ترتیب منطقی و نه تاریخی ارائه شوند. پیشینه لازم در مورد نظریه دیفرانسیل گالوا و سیستم های همیلتونی گنجانده شده است، و چندین مسئله و حدس جدید که خطوط جدیدی از تحقیق را باز می کند، ارائه شده است.

- - -

کتاب عالی است. مقدمه ای بر روش های غیر یکپارچگی در مکانیک هامیلتونی و خواننده را به خط مقدم تحقیقات در این منطقه می آورد. گنجاندن تعداد زیادی از نمونه های کار شده، که بسیاری از آنها مورد توجه گسترده هستند، ستودنی است. ارجاعات تاریخی فراوان و کتابشناسی گسترده وجود دارد.
(بررسی های ریاضی)

برای خوانندگانی که قبلاً در دو موضوع پیش نیاز [نظریه دیفرانسیل گالوا و سیستم های دینامیکی همیلتونی] آماده شده اند، نویسنده به صورت منطقی ارائه کرده است. گزارش قابل دسترس از یک تعامل قابل توجه بین جبر دیفرانسیل و دینامیک.
(Zentralblatt MATH)

This book is devoted to the relation between two different concepts of integrability: the complete integrability of complex analytical Hamiltonian systems and the integrability of complex analytical linear differential equations. For linear differential equations, integrability is made precise within the framework of differential Galois theory. The connection of these two integrability notions is given by the variational equation (i.e. linearized equation) along a particular integral curve of the Hamiltonian system. The underlying heuristic idea, which motivated the main results presented in this monograph, is that a necessary condition for the integrability of a Hamiltonian system is the integrability of the variational equation along any of its particular integral curves. This idea led to the algebraic non-integrability criteria for Hamiltonian systems. These criteria can be considered as generalizations of classical non-integrability results by Poincaré and Lyapunov, as well as more recent results by Ziglin and Yoshida. Thus, by means of the differential Galois theory it is not only possible to understand all these approaches in a unified way but also to improve them. Several important applications are also included: homogeneous potentials, Bianchi IX cosmological model, three-body problem, Hénon-Heiles system, etc.

The book is based on the original joint research of the author with J.M. Peris, J.P. Ramis and C. Simó, but an effort was made to present these achievements in their logical order rather than their historical one. The necessary background on differential Galois theory and Hamiltonian systems is included, and several new problems and conjectures which open new lines of research are proposed.

- - -

The book is an excellent introduction to non-integrability methods in Hamiltonian mechanics and brings the reader to the forefront of research in the area. The inclusion of a large number of worked-out examples, many of wide applied interest, is commendable. There are many historical references, and an extensive bibliography.
(Mathematical Reviews)

For readers already prepared in the two prerequisite subjects [differential Galois theory and Hamiltonian dynamical systems], the author has provided a logically accessible account of a remarkable interaction between differential algebra and dynamics.
(Zentralblatt MATH)