Differential equations on fractals: a tutorial

معادلات دیفرانسیل در فراکتال‌ها دری را برای درک حوزه تحلیلی اخیراً توسعه‌یافته در فرکتال‌ها، با تمرکز بر ساخت یک لاپلاسی روی واشر Sierpinski و فراکتال‌های مرتبط باز می‌کند. این کتاب که به سبکی پر جنب و جوش و غیررسمی نوشته شده است، با تمرینات جذاب فراوان در تمام سطوح دشواری، برای دانشجویان پیشرفته، دانشجویان کارشناسی ارشد، و ریاضیدانانی که به دنبال درک آنالیز بر روی فراکتال هستند، قابل دسترسی است. رابرت استریچارتز خواننده را به مرزهای تحقیق می‌برد و با مثال‌ها و ساخت‌هایی با انگیزه دقیق شروع می‌کند.

یکی از دستاوردهای بزرگ تحلیل هندسی در قرن نوزدهم و بیستم، توسعه نظریه لاپلاسی ها در منیفولدهای صاف بود. اما وقتی فضای زیرین ناهموار باشد چه اتفاقی می افتد؟ فراکتال‌ها مدل‌هایی از فضاهای ناهموار ارائه می‌کنند که با این وجود ساختار قوی، به‌ویژه خود شباهتی دارند. با بهره‌برداری از این ساختار، محققان نظریه احتمال در دهه 1980 توانستند وجود حرکت براونی و بنابراین یک لاپلاسی را بر روی فراکتال‌های خاص اثبات کنند. یک ساختار تحلیلی صریح در سال 1989 توسط جون کیگامی ارائه شد. معادلات دیفرانسیل در فراکتال ها ساختار کیگامی را توضیح می دهد، نشان می دهد که چرا طبیعی و مهم است، و بسیاری از پیامدهای جالبی را که اخیراً کشف شده است، آشکار می کند.

این کتاب می تواند به عنوان یک راهنمای خودآموز برای دانشجویان علاقه مند استفاده شود. در تجزیه و تحلیل فراکتال، یا به عنوان یک کتاب درسی برای یک دوره موضوعات خاص.

Differential Equations on Fractals opens the door to understanding the recently developed area of analysis on fractals, focusing on the construction of a Laplacian on the Sierpinski gasket and related fractals. Written in a lively and informal style, with lots of intriguing exercises on all levels of difficulty, the book is accessible to advanced undergraduates, graduate students, and mathematicians who seek an understanding of analysis on fractals. Robert Strichartz takes the reader to the frontiers of research, starting with carefully motivated examples and constructions.

One of the great accomplishments of geometric analysis in the nineteenth and twentieth centuries was the development of the theory of Laplacians on smooth manifolds. But what happens when the underlying space is rough? Fractals provide models of rough spaces that nevertheless have a strong structure, specifically self-similarity. Exploiting this structure, researchers in probability theory in the 1980s were able to prove the existence of Brownian motion, and therefore of a Laplacian, on certain fractals. An explicit analytic construction was provided in 1989 by Jun Kigami. Differential Equations on Fractals explains Kigami's construction, shows why it is natural and important, and unfolds many of the interesting consequences that have recently been discovered.

This book can be used as a self-study guide for students interested in fractal analysis, or as a textbook for a special topics course.