Differential Equations on Complex Manifolds

تک نگاری حاضر به نظریه پیچیده معادلات دیفرانسیل اختصاص دارد. این کتاب نه یک کتاب راهنما، نه مجموعه ای ساده از مقالات، اولین تلاشی است برای ارائه توضیحی کم و بیش دقیق از شاخه جوان اما امیدوارکننده ریاضیات، یعنی نظریه پیچیده معادلات دیفرانسیل جزئی. اجازه دهید سعی کنیم چارچوب این نظریه را شرح دهیم. اول، مثال‌های ساده نشان می‌دهند که راه‌حل‌های معادلات دیفرانسیل، به طور معمول، توابع تحلیلی را منشعب می‌کنند. و از این رو، نقاط نزدیک منشعب آنها منظم نیستند. دوم، با در نظر گرفتن این ویژگی‌های مهم راه‌حل‌ها، سعی می‌کنیم روش حل مشکل خود را شرح دهیم. مطمئناً ابتدا باید معادلات دیفرانسیل با ضرایب ثابت را در نظر گرفت. دستگاه حل چنین مسائلی در نظریه واقعی معادلات دیفرانسیل به خوبی شناخته شده است: این تبدیل فوریه است. خوشبختانه، چنین تبدیلی هنوز برای توابع پیچیده-تحلیلی ساخته نشده بود و نویسندگان مجبور بودند خودشان آن را بسازند. این دگرگونی، البته، مفهوم کلیدی کل نظریه است.

The present monograph is devoted to the complex theory of differential equations. Not yet a handbook, neither a simple collection of articles, the book is a first attempt to present a more or less detailed exposition of a young but promising branch of mathematics, that is, the complex theory of partial differential equations. Let us try to describe the framework of this theory. First, simple examples show that solutions of differential equations are, as a rule, ramifying analytic functions. and, hence, are not regular near points of their ramification. Second, bearing in mind these important properties of solutions, we shall try to describe the method solving our problem. Surely, one has first to consider differential equations with constant coefficients. The apparatus solving such problems is well-known in the real the­ ory of differential equations: this is the Fourier transformation. Un­ fortunately, such a transformation had not yet been constructed for complex-analytic functions and the authors had to construct by them­ selves. This transformation is, of course, the key notion of the whole theory.