Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Dritter Teil: Anwendungen

بخش ریاضی کار با محاسبات عددی در زمینه توابع بیضوی شروع می شود. بخش I شامل دسته‌ای رنگارنگ از کاربردهای هندسی است، به‌عنوان مثال تقسیم‌بندی lemniscate، اتصال با منحنی‌های مسطح درجه سوم، چند ضلعی‌های Poncelet، خطوط ژئودزیکی روی بیضی‌های انقلاب. بخش دوم به کاربردهای حسابی می پردازد که با ضرب مختلط و معادله کلاس شروع می شود. یک هدف مهم در اینجا اثبات قضیه هابیل است که طبق آن می توان «مدول منفرد» j(ω) را با گرفتن جذر در حالت ضرب مختلط تعیین کرد. دومین هدف اساسی محاسبه صریح این «ناغیرهای طبقاتی» در مثال های متعدد است. کاربردهای دیگر تئوری اعداد، محاسبه اعداد نمایش اشکال درجه دوم و تعیین روابط اعداد کلاس است. - بخش فیزیکی (ناتمام) کار به تفصیل به نظریه تحلیلی ناشناخته پیوند صفحه چهار میله اختصاص داده شده است.

Der mathematische Teil des Werkes beginnt mit numerischen Berechnungen im Gebiet der elliptischen Funktionen. Abschnitt I enthält einen bunten Strauß geometrischer Anwendungen, z.B. Lemniskatenteilung, Zusammenhang mit ebenen Kurven dritten Grades, Ponceletsche Polygone, geodätische Linien auf dem Umdrehungsellipsoid. Abschnitt II behandelt arithmetische Anwendungen, und zwar zunächst die komplexe Multiplikation und die Klassengleichung. Ein wichtiges Ziel ist hier ein Beweis des Satzes von Abel, demzufolge bei Vorliegen komplexer Multiplikation der „singuläre Modul“ j(ω) durch Wurzelziehen bestimmt werden kann. Ein zweites wesentliches Ziel ist die explizite Berechnung dieser „Klasseninvarianten“ in zahlreichen Beispielen. Weitere zahlentheoretische Anwendungen sind die Berechnung von Darstellungsanzahlen quadratischer Formen und die Bestimmung von Klassenzahlrelationen. – Der (unvollendete) physikalische Teil des Werkes widmet sich ausführlich der wenig bekannten analytischen Theorie des ebenen Gelenkvierecks.