Determining Spectra in Quantum Theory

هدف اصلی این کتابیستمجموعه معیارهای موجود در نظریه طیفی عملگرهای خود الحاقی، و شناسایی طیف و اجزای آن در تجزیه Lebesgue. بسیاری از این معیارها در چندین مقاله در مجلات مختلف منتشر شد. ما آنها را جمع آوری کردیم، تعدادی را اضافه کردیم و مروری کلی ارائه کردیم که می تواند به عنوان بستری برای فعالیت های تحقیقاتی بیشتر باشد. نظریه طیفی عملگرهای نوع Schr¨ odinger سابقه طولانی دارد. با این حال پرکاربردترین روش ها از نظر تعداد محدود بودند. برای هر اپراتور A خود الحاقی در فضای هیلبرت قابل تفکیک، طیف با نگاه کردن به مجموع اندازه‌گیری‌های طیفی مرتبط با آن شناسایی می‌شود؛ اغلب مطالعه چنین اندازه‌گیری به معنای نگاه کردن به تغییر اندازه است. تبدیل ها به شکل f,?(A)f بودند که با قضیه طیفی به صورت ?(x)dµ(x) برای برخی از اندازه گیری های ?niteµ قابل بیان است. دو تابع پرکاربرد؟ تابع نمایی sx ?1 بود؟(x)=e و تابع معکوس؟(x)=(x?z) . این توابع "قابل استفاده" هستند به این معنا که می توان آنها را با توجه به اضافه کردن عملگرها دستکاری کرد، چیزی که اغلب در نظریه طیفی عملگرهای نوع Schr¨ odinger در نظر گرفته می شود. با شروع با این ساختار اساسی، ما به تبدیل معیارهایی که از آنها می‌توانیم معیارها و اجزای آن‌ها را در فصل 1 بازیابی کنیم، نگاه می‌کنیم. قضیه طیفی نیز به شکل هان-هلینگر داده شده است. هر دو فصل 1 و فصل 2 همچنین به معرفی یک سری از تعاریف و نمادها کمک می کنند، زیرا آنها پس زمینه ای را که برای معیارهای فصل 3 ضروری است، آماده می کنند.

Themainobjectiveofthisbookistogiveacollectionofcriteriaavailablein the spectral theory of selfadjoint operators, and to identify the spectrum and its components in the Lebesgue decomposition. Many of these criteria were published in several articles in di?erent journals. We collected them, added some and gave some overview that can serve as a platform for further research activities. Spectral theory of Schr¨ odinger type operators has a long history; however the most widely used methods were limited in number. For any selfadjoint operatorA on a separable Hilbert space the spectrum is identi?ed by looking atthetotalspectralmeasureassociatedwithit;oftenstudyingsuchameasure meant looking at some transform of the measure. The transforms were of the form f,?(A)f which is expressible, by the spectral theorem, as ?(x)dµ (x) for some ?nite measureµ . The two most widely used functions? were the sx ?1 exponential function?(x)=e and the inverse function?(x)=(x?z) . These functions are “usable” in the sense that they can be manipulated with respect to addition of operators, which is what one considers most often in the spectral theory of Schr¨ odinger type operators. Starting with this basic structure we look at the transforms of measures from which we can recover the measures and their components in Chapter 1. In Chapter 2 we repeat the standard spectral theory of selfadjoint op- ators. The spectral theorem is given also in the Hahn–Hellinger form. Both Chapter 1 and Chapter 2 also serve to introduce a series of de?nitions and notations, as they prepare the background which is necessary for the criteria in Chapter 3.