Des phénomènes critiques aux champs de jauge

Table des matières......Page 6
Avant-propos......Page 16
Références générales......Page 20
Notations et conventions......Page 22
PREMIÈRE PARTIE Phénomènes critiques......Page 24
A Transition ferromagnétique......Page 26
B.l Description du modèle......Page 29
B.2 Modèle d'Ising à une dimension......Page 31
B.3. Fonction de corrélation du modèle d’Ising à une dimension......Page 33
C.l Equation du champ moyen......Page 35
C.2 Transition ferromagnétique en champ moyen......Page 37
C.3 Comportement au voisinage de la transition......Page 39
C.4 Exposants critiques a p y......Page 42
D.l Définition fonction génératrice......Page 44
D 2 Théorème fluctuation-dissipation......Page 46
D.3 Mesure de la fonction de corrélation......Page 47
D.4 Exposants critiques 77 et v......Page 48
D.5 Transformation de Legendre......Page 50
E Description qualitative des phénomènes critiques......Page 52
Exercices......Page 56
Notes et références......Page 60
CHAPITRE II Théorie de Landau......Page 62
A.l Cas d'un seul site......Page 63
A.2 Généralisation à N sites......Page 66
A.3 Formulation continue......Page 69
B.2 Transitions du premier ordre......Page 72
C Fonctions de corrélation......Page 74
D.l Critère de Ginzburg : première démonstration......Page 76
D.2 Correction à la théorie de Landau......Page 77
D.3 Critère de Ginzburg : deuxième démonstration......Page 81
Exercices......Page 83
Notes et références......Page 89
CHAPITRE III Groupe de renormalisation......Page 90
A. NOTIONS FONDAMENTALES : BLOCS DE SPIN, SURFACE CRITIQUE, POINTS FIXES......Page 92
A.l Blocs de spins et transformations non linéaires......Page 93
A.2 Transformations linéaires......Page 96
A.3 Surface critique et points fixes......Page 98
B. COMPORTEMENT AU VOISINAGE D’UN POINT FIXE. EXPOSANTS CRITIQUES......Page 101
B 1 Discussion élémentaire......Page 102
B 2 Linéarisation au voisinage du point fixe......Page 103
B.3 Fonction de corrélation en champ nui......Page 106
B.4 Fonction de corrélation B # O......Page 108
B 5 Energie libre......Page 109
C. MODÈLE D’ISING SUR RÉSEAU TRIANGULAIRE ET APPROXIMATION DES CUMULANTS......Page 111
D Modèle gaussien......Page 115
D 1 Transformation dans l'espace de Fourier......Page 116
D 2 Modèle gaussien......Page 119
D.3 Point fixe gaussien......Page 122
E.l Point fixe non gaussien......Page 126
E.2 Equations différentielles de renormalisation......Page 127
E.3 Méthode de  "raccordement"......Page 129
F 1 Equation différentielle pour un champ marginal......Page 133
F.2 Fonction de corrélation......Page 140
Exercices......Page 143
Notes et références......Page 150
CHAPITRE IV Modèles bidimensionnels......Page 152
A 1 Développement haute température......Page 154
A.2 Développement basse température......Page 156
A.3 Rôle des vortex......Page 158
B.l Modèle de Villain......Page 160
B.2 Groupe de renormalisation pour le modèle XY......Page 165
C Modèles-a non linéaires......Page 168
Exercices......Page 172
Notes et références......Page 174
DEUXIÈME PARTIE Théorie des perturbations et renormalisation : champ scalaire euclidien......Page 176
CHAPITRE V Développement perturbatif Diagrammes de Feynman......Page 178
A.l Fonction génératrice pour une seule variable......Page 179
A.2 Théorème de Wick......Page 181
A.3 Fonctionnelle génératrice......Page 182
B 1 Développement perturbatif pour une variable......Page 185
B.2 Calcul de G(2) à l™ordre g......Page 186
B.3 Calcul de G(™) à l™ordre g2......Page 191
B.4 Fonction de corrélation à quatre points G(4)......Page 195
B.5 Règles de Feynman dans l™espace des k......Page 198
C Fonctions de corrélation cannexes Vertex propres......Page 202
C.2 Fonctionnelle génératrice des diagrammes connexes......Page 203
C.3 Vertex propres et fonctionnelle génératrice......Page 206
D.l Symétrie brisée et potentiel effectif......Page 212
D.2 Développement en nombre de boucles......Page 214
E.1 Un cas élémentaire......Page 215
E.2 Méthode de l'identité de Feynman......Page 216
E.3 Représentation paramétrique générale......Page 218
E.4 Calcul de q à l'ordre c2......Page 222
F. COMPTAGE DE PUISSANCES
 DIVERGENCES ULTRAVIOLETTES ET INFRAROUGES......Page 224
F 1 Argument topologique......Page 225
F.2 Argument dimensionnel......Page 226
F.3 Divergences infrarouges......Page 227
Exercices......Page 230
Notes et références......Page 235
CHAPITRE VI Renormalisa tion......Page 236
A 1 Classification des théories......Page 238
A.2. Diagrammes divergents d’une théorie renormalisable......Page 239
A.3 Régularisation......Page 240
B Renormalisation de la masse et de la constante de couplage......Page 241
B.l. r(’) à l’ordre d’une boucle : renormalisation de la masse......Page 242
B.2. r(4) à l’ordre d’une boucle : renormalisation de la constante de couplage......Page 243
C.l. r(2) à l’ordre de deux boucles : renormalisation du champ......Page 244
C.2 Contre-termes......Page 248
D.l r(4) à l™ordre de deux boucles......Page 250
D.2. Relation entre fonctions de corrélation nues et renormalisées......Page 254
D.3 Cas de la masse nulle......Page 255
E Opérateurs composés et leur renormalisation......Page 256
E 1 Fonctionnelle génératrice......Page 257
E.2. Exemple :  à l'ordre d'une boucle......Page 259
E.3. Comptage de puissances et contre-termes......Page 260
F Schéma de soustraction minimal......Page 262
Exercices......Page 266
Notes et références......Page 271
CHAPITRE VII Equations de Callan-Symanzik......Page 272
A 1 Analyse dimensionnelle......Page 274
A.2. Identification de la constante de couplage renormalisée......Page 276
A.3 Classification des théories......Page 279
A.4 Identification de Z......Page 280
A.5 Schémas de renormalisation et définition de p (go)......Page 281
B.l Divergences infrarouges......Page 284
B.2 Démonstration de l'équation de Callan-Symanzik......Page 285
B.3 Calcul de p go. E) à l'ordre d'une boucle......Page 287
B 4 Solution de l'équation de Callan-Symanzik......Page 288
B 5 Application aux phénomènes critiques......Page 290
C Equations de Callan-Symanzik pour la théorie renormalisée......Page 291
C.l Equation de Callan-Symanzik pour T = T......Page 292
C.2 Points fixes......Page 293
C.3 Equation de Callan-Symanzik pour T =- T......Page 297
D.l Calcul de p......Page 303
D.2. Théorie des perturbations améliorée par le groupe de renormalisation......Page 305
E Le groupe de renormalisation en dimension D -= 4......Page 306
E.l Une équation pour p 9. E)......Page 307
E.2 Calcul de /3 9. E) et y 9. E) dans le schéma minimal......Page 308
E.3 Calcul de p y et 7 à l™ordre de deux boucles......Page 309
E.4 Calcul des exposants critiques à l'ordre E......Page 311
Exercices......Page 312
Notes et références......Page 316
TROISIÈME PARTIE Théorie quantique des champs scalaires......Page 318
CHAPITRE VIII Intégrales de chemin en mécanique quantique et mécanique statistique......Page 320
A.l Intégrale de chemin pour un spin 1/2......Page 324
A.2 Correspondances......Page 326
B Particule dans un potentiel......Page 329
B .l . Représentation d’une amplitude de Probabilité par une intégrale de chemin......Page 330
B.2. Fonctionnelle génératrice des produits- T. Expression du produit-T......Page 334
B.3. Oscillateur harmonique et conditions aux limites de Feynman......Page 337
C.l Fonction de partition quantique......Page 341
C.2 Analogue classique......Page 344
C.3. Oscillateur harmonique euclidien......Page 345
Exercices......Page 346
Notes et références......Page 350
CHAPITRE IX Quantification du champ de Klein-Gordon......Page 352
A.1. Système à Ndegrés de liberté : lagrangien, hamiltonien, quantification......Page 355
A.2 Quantification de la ligne continue......Page 357
A.3 Modes normaux......Page 359
A.4 Phonons espace de Fock......Page 361
B.1 Equation d'onde lagrangien......Page 364
B 2 Décomposition de Fourier......Page 365
B 3 Quantification canonique......Page 367
B.4 Commutateur à t # t™......Page 368
B.5 Propagateur......Page 369
B.6 Singularités sur le cône de lumière......Page 371
C.l Opérateur d'évolution Equation de Dyson......Page 373
C.2. Oscillateur harmonique couplé à une source classique......Page 375
C.3. Champ de Klein-Gordon couplé à une source classique......Page 378
C.4 Théorème de Wick......Page 380
Exercices......Page 383
Notes et références......Page 386
CHAPITRE X Fonctions de Green et matrice S......Page 388
A.l Représentation interaction et matrice S......Page 390
A.2 Formule de Gell-Mann et Low......Page 396
A.3 Développement perturbatif......Page 398
A.4 Renormalisation et conditions de normalisation......Page 401
B.l Intégrale de chemin pour Z(j)......Page 402
B.2 r(4) au deuxième ordre en g Rotation de Wick......Page 404
B 3 Relation avec la théorie euclidienne......Page 406
B.4 Equations du mouvement......Page 409
C Sections efficaces et matrice S......Page 410
C.l Sections efficaces......Page 411
C.2 Application : 2 particules -+ 2 particules......Page 414
C.3 Calcul d'un élément de matrice S......Page 415
C.4 Formules de réduction......Page 418
C.5 Matrice S et •onctions de Green renormalisées......Page 421
C.6 Unitarité et renormalisation......Page 423
D.l Unitarité et relation de dispersion......Page 424
D.2 Règles de coupure......Page 429
E 1 Champ scalaire chargé......Page 435
E.2 Champ vectoriel massif......Page 438
E.3 Couplages dérivatifs......Page 441
Exercices......Page 442
Notes et références......Page 444
QUATRIÈME PARTIE Théories de jauge......Page 446
CHAPITRE XI Quantification du champ de Dirac et du champ électromagnétique......Page 448
A.l Espace 'de Fock pour les fermions......Page 450
A.2 Equation de Dirac......Page 453
A.3 Solutions de l'équation de Dirac......Page 456
A.4 Quantification du champ de Dirac......Page 459
A.5 Propagateur du champ de Dirac......Page 463
B.l. u Oscillateur fermionique >> couplé à une source externe......Page 464
B.2. Formulation fonctionnelle : intégration sur des variables de Grassmann......Page 467
C. 1. Equations de Maxwell et potentiel électromagnétique......Page 469
C.2 Formulation covariante......Page 470
C.3 Invariance tie jauge et conservation du courant......Page 472
D. 1. Problèmes dans la quantification du champ électromagnétique......Page 474
D.2. Quantification dans la jauge de Lorentz : fonctionnelle génératrice......Page 478
Exercices......Page 482
Notes et références......Page 485
CHAPITRE XII Electrodynamique quantique......Page 486
A.l Fonctions de Green dans l'espace de configuration......Page 488
A.2 Eléments de matrice S......Page 493
B.l Diffusion d'un électron par un champ coulombien......Page 496
B.2 Calcul de e+ e- --t p+ p-......Page 498
B.3 Application : calcul du rapport R......Page 500
C 1 Comptage de puissances pour l'électrodynamique......Page 502
C.2 Propagateur du photon et polarisation du vide......Page 505
C.3 Propagateur de l'électron......Page 512
C.4 Vertex électron-photon......Page 516
C.5 Moment magnétique anormal de l'électron......Page 520
D.l Identités de Ward......Page 522
D.2 Unitarité......Page 528
D.3 Renormalisation......Page 530
D.4 Groupe de renormalisation de l™électrodynamique......Page 533
Exercices......Page 536
Notes et références......Page 543
CHAPITRE XIII Théories de jauge non abéliennes......Page 546
A.l Le groupe SU(2)......Page 547
A.2 Transport parallèle et dérivation covariante......Page 552
A.3 Tenseur F et lagrangien......Page 557
B I Fonctionnelle génératrice......Page 560
B.2 Règles de Feynman......Page 563
B 3 Renormalisation et identités de Ward......Page 567
C Modèle des interactions électro-faibles......Page 569
C.I Bosons de Goldstone et phénomène de Higgs......Page 570
C.2 Théorie de Fermi des interactions faibles......Page 574
C.3 Modèle de Glashow-Salam-Weinberg......Page 576
D Chromodynamique quantique......Page 584
D 1 Liberté asymptotique......Page 585
D.2 Annihilation e+ e- : cinématique......Page 591
D 3 Equation d' Altarelli-Parisi......Page 593
D.4 Correction d‚ordre a au rapport R......Page 599
E Théories de jauge sur réseau......Page 600
E.1 Modèle de Wegner......Page 601
E.2 Action de Wilson et couplage fort......Page 603
E.3 Couplage faible et invariance d'échelle asymptotique......Page 607
Exercices......Page 610
Notes et références......Page 617
A 1 Transformées de Fourier......Page 620
A.2 Intégrales gaussiennes......Page 622
A.3 Intégrales en dimension D......Page 624
APPENDICE B Intégrales de Feynman en régularisation dimensionnelle (cas euclidien)......Page 626
C.l Groupe de Lorentz......Page 628
C.2 Matrices de Dirac......Page 629
C.3 Sections efficaces......Page 631
C.4 Règles de Feynman......Page 632
Index......Page 636