Der gebrochene Spiegel: Symmetrie, Symmetriebrechung und Ordnung in der Natur

یادداشت‌های زیر برای شفاف‌سازی پدیده‌های ریاضی و فیزیکی توضیح داده شده‌اند. [1] در زبان انتزاعی ریاضی، تعریف دقیق تری از گروه را می توان به صورت زیر ارائه داد. گروه مجموعه ای متناهی یا نامتناهی از عناصر A، B، C، ... است که بین آنها رابطه ای به نام ضرب تعریف می شود. در معادله C = AB، وجود و منحصر به فرد بودن سومی باید از هر دو عنصر از سه عنصر باشد و قانون انجمنی A(BC) = (AB)C باید اعمال شود. عناصر A، B، C، ... گروه می توانند «عملگرهایی» باشند که باعث دگرگونی می شوند، مانند B. A = ترجمه، B = چرخش، C = آینه. حاصلضرب AB باید به این معنی باشد که ابتدا چرخش B و سپس جابجایی A انجام می شود. نتیجه باید مانند بازتاب C باشد. برلین (Springer- Publisher) 1987.

Die folgenden Anmerkungen dienen der Präzisierung der beschriebenen mathematischen und physikalischen Phänomene. [1] In der abstrakten Sprache der Mathematik kann eine genauere Definition einer Gruppe folgendermaßen getroffen werden. Eine Gruppe ist eine endliche oder unendliche Menge von Elementen A, B, C, ... , zwischen denen eine Verknüpfung, Multiplikation genannt, definiert ist. In der Gleichung C = AB soll aus je zwei der drei Elemente die Existenz und Eindeutigkeit der dritten folgen, und es soll das assoziative Gesetz A(BC) = (AB)C gelten. Die Elemente A, B, C, ... der Gruppe können «Operatoren» sein, die eine Transformation bewirken, wie z. B. A = Verschiebung, B = Dre­ hung, C = Spiegelung. Das Produkt AB soll dann bedeuten, daß zuerst die Drehung B und dann die Verschiebung A ausgeführt werden. Das Resultat muß das gleiche sein wie das der Spiegelung C. [2] Siehe G. Mazzola, D. Krömker, G. R. Hofmann, Rasterbild-Bildraster, Anwendung der Graphischen Datenverarbeitung zur geometrischen Ana­ lyse eines Meisterwerks der Renaissance: Raffaels , Berlin (Springer-Verlag) 1987.