De Rham Cohomology of Differential Modules on Algebraic Varieties

این مطالعه ماژول های دیفرانسیل جبری در چندین متغیر و برخی از روابط آنها با ماژول های دیفرانسیل تحلیلی است. بیایید منبع آن را توضیح دهیم. ایده محاسبه هم‌شناسی یک منیفولد، به‌ویژه اعداد بتی آن، با استفاده از فرم‌های دیفرانسیل به E. Cartan و G. De Rham برمی‌گردد. در مورد نوع جبری مختلط صاف X، سه نوع وجود دارد: 1) استفاده از کمپلکس De Rham از اشکال دیفرانسیل جبری روی X، 2) استفاده از کمپلکس De Rham از اشکال دیفرانسیل هولومورفیک بر روی X منیفولد X که زیر X قرار دارد، iii) با استفاده از کمپلکس De Rham از اشکال دیفرانسیل پیچیده Coo بر روی منیفولد متفاوت Xdlf زیرین Xan. این گونه ها معادل هستند. به عبارت دیگر، یکی دارای ایزومورفیسم های متعارف هایپرکوهومولوژی است: در حالی که ایزومورفیسم دوم یک نتیجه تئوری ساده از لم پوانکر است، که هر دو فضای برداری را با همومولوژی پیچیده H (XtoP, C) فضای توپولوژیکی زیرین X شناسایی می کند، ایزومورفیسم اول. نتیجه عمیق تر A. Grothendieck است که به ویژه نشان می دهد که اعداد بتی را می توان به صورت جبری محاسبه کرد. این نتیجه توسط P. Deligne در مورد ضرایب غیر ثابت تعمیم داده شده است: برای هر بسته برداری جبری M.M روی X که دارای یک اتصال منظم انتگرال پذیر است، هم شکلی متعارفی دارد. مفهوم اتصال منظم تعمیم ابعادی بالاتر از کلاسیک است. مفهوم معادلات دیفرانسیل فوشین (فقط تکینگی های منظم).

This is a study of algebraic differential modules in several variables, and of some of their relations with analytic differential modules. Let us explain its source. The idea of computing the cohomology of a manifold, in particular its Betti numbers, by means of differential forms goes back to E. Cartan and G. De Rham. In the case of a smooth complex algebraic variety X, there are three variants: i) using the De Rham complex of algebraic differential forms on X, ii) using the De Rham complex of holomorphic differential forms on the analytic an manifold X underlying X, iii) using the De Rham complex of Coo complex differential forms on the differ­ entiable manifold Xdlf underlying Xan. These variants tum out to be equivalent. Namely, one has canonical isomorphisms of hypercohomology: While the second isomorphism is a simple sheaf-theoretic consequence of the Poincare lemma, which identifies both vector spaces with the complex cohomology H (XtoP, C) of the topological space underlying X, the first isomorphism is a deeper result of A. Grothendieck, which shows in particular that the Betti numbers can be computed algebraically. This result has been generalized by P. Deligne to the case of nonconstant coeffi­ cients: for any algebraic vector bundle .M on X endowed with an integrable regular connection, one has canonical isomorphisms The notion of regular connection is a higher dimensional generalization of the classical notion of fuchsian differential equations (only regular singularities).