Cálculo Numérico: Teoría, Problemas y Algunos Programas con Maxima

Prólogo
Cálculo Numérico: generalidades
	Introducción: métodos de cálculo numérico
	Esquema general de construcción y aplicación de métodos numéricos
		Ejemplos que ilustran estos criterios:
	Desarrollos de Taylor y MacLaurin
	Orden y rapidez de convergencia: notaciones o y O
		Las notaciones o y O de Landau para funciones
		Las notaciones o y O de Landau para sucesiones: órdenes de convergencia
	Errores en los métodos numéricos
	Algoritmos y diagramas de flujo
	Problemas resueltos
	Aritmética exacta versus aritmética de redondeo con Maxima
		Épsilon de máquina
	Problemas y trabajos propuestos
Resolución numérica de ecuaciones no lineales
	Introducción
	Ecuaciones no lineales con una variable
		El método de bisección
		Teorema del punto fijo: método iterativo general
		Métodos iterativos particulares de aproximación de soluciones
		Aceleración de la convergencia. El método 2 de Aitken
	Ecuaciones polinomiales
		Acotación de raíces de una ecuación polinómica
		Determinación de cotas superiores de las raíces reales de una ecuación polinómica
	Sistemas no lineales. Método de Newton para sistemas
		Método de iteración simple en varias variables
		El método de Newton para sistemas
	Problemas resueltos
	Algunos programas Maxima para resolver ecuaciones no lineales
		Método de bisección
		Método de Newton-Raphson
	Problemas y trabajos propuestos
Resolución numérica de sistemas lineales
	Introducción. Normas vectoriales y matriciales
		Normas matriciales inducidas
		Relación entre el radio espectral y la norma matricial de una matriz A
		Número de condición de una matriz
	Métodos directos de resolución de sistemas lineales
		Sistemas triangulares
		Eliminación gaussiana: el método de Gauss y sus variantes
		Otros métodos de factorización
	Métodos iterativos de resolución de sistemas lineales
		Generalidades: convergencia y construcción de métodos iterativos
		Métodos iterativos particulares: Jacobi, Gauss-Seidel y relajación
	Introducción al cálculo aproximado de valores y vectores propios
	Problemas resueltos
	Algunos programas Maxima para la resolución de sistemas lineales
		Normas vectoriales y matriciales
		Método iterativo de Jacobi
		Método iterativo de Gauss-Seidel
	Problemas y trabajos propuestos
Interpolación y aproximación de funciones
	Interpolación
		Introducción: diferentes problemas de interpolación
		Interpolación polinomial de Lagrange
		Diferencias divididas: fórmula de Newton
		Diferencias finitas: fórmula de Newton
		Estimación del error de interpolación
		Funciones splines. Splines cúbicos
	Introducción al problema de la mejor aproximación
		Espacios prehilbertianos
		Ortogonalidad. Bases ortonormales
		Mejor aproximación por mínimos cuadrados
		Mejor aproximación por mínimos cuadrados continua o discreta
	Problemas resueltos
	Algunos programas Maxima para interpolación y aproximación de funciones
		Cálculo directo de polinomios de interpolación
		Fórmula de Newton en diferencias divididas
		Mejor aproximación por mínimos cuadrados continua
	Problemas y trabajos propuestos
Derivación e integración numérica
	Derivación numérica
		Fórmulas de derivación numérica de tipo interpolatorio y expresión del error
		Fórmulas de derivación numérica de orden superior
		Estabilidad de las fórmulas de derivación numérica
	Integración numérica
		Fórmulas de tipo interpolatorio
		Fórmulas de Newton-Côtes simples
		Fórmulas de cuadratura compuestas
		Estabilidad y convergencia
	Problemas resueltos
	Algunas funciones Maxima para la integración numérica
		Regla del trapecio compuesta
		Regla de Simpson compuesta
	Problemas y trabajos propuestos
Resolución numérica de problemas de valor inicial
	Problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias
	Métodos de un paso generales: definiciones y resultados
		Expresión general de los métodos de un paso
	Métodos de Taylor
	Desarrollo asintótico del error global y aplicaciones
		Estimación del error global mediante el método de extrapolación al límite de Richardson
		Extrapolación al límite de Richardson
	Métodos Runge-Kutta explícitos de m etapas: formulación general
		Tablas de Butcher: ejemplos diversos
		Convergencia y orden de los métodos RK(m) explícitos
	Formulación general de los métodos lineales multipaso: orden, consistencia, estabilidad y convergencia
		Métodos predictor-corrector
		Orden, consistencia, estabilidad y convergencia de un método lineal multipaso
	Fórmulas de Adams
		Fórmulas explícitas o de Adams-Bashforth
		Fórmulas implícitas o de Adams-Moulton
	Problemas resueltos
	Algunos programas Maxima para métodos de un paso
		Métodos de Taylor
		Métodos Runge-Kutta explícitos para EDO\'s
		El paquete diffeq y el comando rk
	Problemas y trabajos propuestos
Métodos en diferencias finitas
	Introducción
	Métodos en diferencias finitas para problemas de contorno lineales
	Generalidades sobre ecuaciones en derivadas parciales
	Ecuaciones elípticas: Problemas de valor en la frontera para ecuaciones de Poisson o Laplace
	Ecuaciones parabólicas: la ecuación del calor
	Ecuaciones hiperbólicas: la ecuación de ondas
	Problemas resueltos
	Problemas y trabajos propuestos
Bibliografía