Critical Phenomena in Loop Models

وقتی به یک انتقال فاز پیوسته نزدیک می‌شویم، بسیاری از سیستم‌های فیزیکی را می‌توان به طور مفید به مجموعه‌هایی از حلقه‌های نوسانی نگاشت کرد، که ممکن است به عنوان مثال حلقه‌های پلیمری، یا نقص‌های خطی در آهنربای شبکه‌ای، یا خطوط جهانی ذرات کوانتومی را نشان دهند.
' مدل های حلقه یک زبان هندسی یکپارچه برای مسائلی از این دست ارائه می دهند.
این پایان نامه با هدف گسترش این زبان در دو جهت است. بخش اول پایان نامه به مجموعه ای از حلقه ها در سه بعدی می پردازد و آنها را به خواص آماری نقص خط در رسانه های بی نظم و پدیده های مهم در آهنرباهای کوانتومی دو بعدی مرتبط می کند. بخش دوم مربوط به مدل‌های حلقه دوبعدی است که خارج از پارادایم‌های استاندارد قرار دارند: انواع جدیدی از نقاط بحرانی یافت می‌شوند، و نتایج جدیدی برای خواص جهانی انتقال‌های فروپاشی پلیمر در دو بعد ارائه شده است.
همه این مشکلات نشان داده شده‌اند. مربوط به مدل‌های سیگما در فضای تصویری پیچیده یا واقعی، CP^{n−1} یا RP^{n−1} -- در برخی موارد در حد "مثنی" -- و این پایان‌نامه نیز یک بررسی عمیق است رفتار انتقادی در این نظریه های میدانی.

When close to a continuous phase transition, many physical systems can usefully be mapped to ensembles of fluctuating loops, which might represent for example polymer rings, or line defects in a lattice magnet, or worldlines of quantum particles.
'Loop models' provide a unifying geometric language for problems of this kind.
This thesis aims to extend this language in two directions. The first part of the thesis tackles ensembles of loops in three dimensions, and relates them to the statistical properties of line defects in disordered media and to critical phenomena in two-dimensional quantum magnets. The second part concerns two-dimensional loop models that lie outside the standard paradigms: new types of critical point are found, and new results given for the universal properties of polymer collapse transitions in two dimensions.
All of these problems are shown to be related to sigma models on complex or real projective space, CP^{n−1} or RP^{n−1} -- in some cases in a 'replica' limit -- and this thesis is also an in-depth investigation of critical behaviour in these field theories.