Crack Theory and Edge Singularities

مسائل مقدار مرزی برای معادلات دیفرانسیل جزئی نقش مهمی در بسیاری از زمینه‌های فیزیک و علوم کاربردی دارند. پدیده های جالب اغلب با تکینگی های هندسی مرتبط هستند، به عنوان مثال، در مکانیک. عملگرهای بیضوی در مدل‌های متناظر به روشی معمولی سینگلار یا انحطاط می‌شوند. ساختارهای لازم برای ساخت راه حل ها متعلق به بخش بسیار زیبا و جاه طلبانه تحلیل است. ترک‌ها در یک محیط توسط سطوح فوق‌العاده با یک مرز توصیف می‌شوند. پیکربندی‌هایی از این دست به دسته فضاها (منیفولدها) با تکینگی‌های هندسی و در اینجا با لبه‌ها تعلق دارند. در سال‌های اخیر تجزیه و تحلیل بر روی چنین فضاهایی (به طور کلی، طبقاتی) به یک نظریه ساختار ریاضی با روابط عمیق بسیاری با هندسه، توپولوژی و فیزیک ریاضی تبدیل شده است. کلمات کلیدی در این رابطه عبارتند از جبر عملگر، نظریه شاخص، کمی سازی و تحلیل مجانبی. با انگیزه سیستم لم با شرایط مرزی دو طرفه روی یک ترک، ساختار راه حل ها را در فضاها و زیرفضاهای Sobolov لبه وزن دار با مجانبی گسسته و پیوسته می پرسیم. به طور کلی برای سیستم های بیضوی پاسخ داده شده است. ما پارامترهای مسائل مربوط به مقدار مرزی لبه را می سازیم و نظم بیضوی را در مقیاس های مربوط به فضاهای وزن دار به دست می آوریم. عملگرهای بیضوی اصلی و همچنین پارامترهای آنها به جبر ماتریس بلوکی از مسائل لبه شبه دیفرانسیل با شرایط مرزی و لبه تعلق دارند که آنالوگ های شرط Shapiro-Lopatinskij را از مسائل ارزش مرزی استاندارد برآورده می کنند. اپراتورها توسط سلسله مراتبی از نمادهای اصلی با اجزای داخلی، مرزی و لبه کنترل می شوند.

Boundary value problems for partial differential equations playa crucial role in many areas of physics and the applied sciences. Interesting phenomena are often connected with geometric singularities, for instance, in mechanics. Elliptic operators in corresponding models are then sin­ gular or degenerate in a typical way. The necessary structures for constructing solutions belong to a particularly beautiful and ambitious part of the analysis. Cracks in a medium are described by hypersurfaces with a boundary. Config­ urations of that kind belong to the category of spaces (manifolds) with geometric singularities, here with edges. In recent years the analysis on such (in general, stratified) spaces has become a mathematical structure theory with many deep relations with geometry, topology, and mathematical physics. Key words in this connection are operator algebras, index theory, quantisation, and asymptotic analysis. Motivated by Lame's system with two-sided boundary conditions on a crack we ask the structure of solutions in weighted edge Sobolov spaces and subspaces with discrete and continuous asymptotics. Answers are given for elliptic sys­ tems in general. We construct parametrices of corresponding edge boundary value problems and obtain elliptic regularity in the respective scales of weighted spaces. The original elliptic operators as well as their parametrices belong to a block matrix algebra of pseudo-differential edge problems with boundary and edge conditions, satisfying analogues of the Shapiro-Lopatinskij condition from standard boundary value problems. Operators are controlled by a hierarchy of principal symbols with interior, boundary, and edge components.