Cours tout-en-un - Mathematiques 2e annee - Cours et exercices corriges

Préface......Page 4
Table des matières......Page 6
I Algèbre......Page 18
1. Ensembles dénombrables......Page 20
2. Suites exhaustives de parties finies......Page 21
3. Exemples d'ensembles dénombrables......Page 22
4. Non dénombrabilité de R......Page 24
1.1 Groupe produit......Page 30
1.2 Sous-groupe engendré par une partie......Page 31
1.3 Partie génératrice......Page 33
1.4 Groupe monogène et groupe cyclique......Page 35
2.1 Définitions et exemples classiques......Page 36
2.2 Orbites et stabilisateurs......Page 41
2.3 Théorème de lagrange et formule des classes......Page 44
3.1 Sous-groupes de Z......Page 47
3.2 Relation de congruence modulo n élément de N......Page 48
3.3 Groupe quotient Z/nZ......Page 51
4.1 Ordre d'un élément......Page 53
4.2 Structure du sous-groupe engendré par un élément......Page 55
5.1 Structure des groupes monogènes......Page 56
5.3 Sous-groupes des groupes monogènes......Page 57
1.1 Idéaux......Page 64
1.2 Divisibilité......Page 66
2.2 Caractérisation du pgcd et du ppcm de deux entiers relatifs......Page 69
2.3 Congruences dans Z et anneaux quotients Z/nZ......Page 71
2.4 Corps Z/pZ et caractéristique d'un corps......Page 74
2.5 Utilisation arithmétique de la notion de congruence et des anneaux quotients......Page 75
2.6 Applications aux nombres premiers......Page 78
3.1 Idéaux de K[X]......Page 81
3.2 Caractérisation du pgcd et du ppcm de deux polynômes......Page 82
4.1 Morphismes d'évaluation......Page 84
4.2 Idéal annulateur et polynôme minimal......Page 86
4.3 Structure d'une sous-algèbre monogène......Page 90
1.1 Combinaisons linéaires......Page 98
1.2 Familles génératrices, familles libres et bases......Page 100
2.1 Produit d'une famille d'espaces vectoriels......Page 106
2.2 Somme d'une famille finie de sous-espaces vectoriels......Page 108
2.3 Somme directe d'une famille finie de sous-espaces vectoriels......Page 109
2.4 Décomposition en somme directe......Page 110
3.1 Sous-espaces stables......Page 115
3.2 Isomorphisme associé à une application linéaire......Page 118
3.3 Codimension et théorème du rang......Page 119
3.4 Hyperplans et formes linéaires......Page 121
1.1 Matrices équivalentes et rang......Page 128
1.2 Matrices semblables et trace......Page 130
1.3 Matrices par blocs......Page 133
1.4 Représentation matricielle par blocs......Page 138
2.1 Opérations élémentaires......Page 142
2.2 Calcul du rang, du déterminant et de l'inverse......Page 146
2.3 Applications à GLn(k) et SLn(k)......Page 150
1.1 Base duale......Page 156
1.2 Orthogonalité......Page 160
1.3 Application linéaire associée à une famille finie de vecteurs ou de formes linéaires......Page 162
2.1 Systèmes d'équations linéaires......Page 164
2.2 Résolution d'un système linéaire......Page 167
2.3 Représentation des sous-espaces par des systèmes d'équations......Page 171
1.1 Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques......Page 176
1.2 Formes positives et définies positives......Page 178
1.3 Matrice d'une forme bilinéaire symétrique......Page 181
2.1 Réduction d'une forme bilinéaire symétrique......Page 184
2.2 Méthode de décomposition de gauss......Page 186
2.3 Réduction lorsque K est égal à C......Page 188
2.4 Réduction lorsque K est égal à R......Page 189
1.1 Morphisme d'évaluation......Page 196
1.2 Idéal annulateur et polynôme minimal......Page 199
1.3 Sous-algèbre engendrée par un endomorphisme......Page 202
1.4 Idéal annulateur d'un vecteur......Page 204
1.5 Lemme des noyaux......Page 207
2.1 Valeurs propres et vecteurs propres......Page 212
2.2 Sous-espaces propres......Page 217
2.3 Polynôme caractéristique......Page 218
2.4 Endomorphismes scindés et scindés simples......Page 225
2.5 Théorème de hamilton-cayley......Page 226
3.1 Endomorphismes diagonalisables......Page 228
3.2 Réduction des endomorphismes diagonalisables......Page 234
3.3 Caractérisation des endomorphismes diagonalisables par leur polynôme minimal......Page 236
4.1 Endomorphismes trigonalisables......Page 238
4.2 Décomposition de jordan des endomorphismes scindés......Page 244
4.3 Réduction de jordan des endomorphismes scindés......Page 249
II Analyse 1......Page 262
1.1 Séries convergentes......Page 264
1.2 Suites et séries......Page 267
2.1 Convergence par comparaison directe......Page 268
2.2 Règle de Riemann......Page 270
2.3 Comparaison à une série géométrique......Page 272
2.4 Comparaison logarithmique......Page 273
2.5 Complément : cas de convergence lente......Page 275
2.6 Sommation des relations de comparaison......Page 277
3.1 Valeurs approchées décimales......Page 279
3.2 Développements décimaux......Page 284
4.1 Suites de Cauchy......Page 287
4.3 Convergence absolue......Page 288
4.4 Comparaison série-intégrale......Page 290
4.5 Séries alternées......Page 296
4.6 Complément : la transformation d'Abel (hors programme)......Page 298
4.7 Sommation par tranches......Page 299
4.8 Complément : permutation des termes......Page 301
4.9 Produit de Cauchy......Page 303
5.1 Développement asymptotique du reste......Page 305
5.2 Vitesse de convergence......Page 308
1.1 Espaces vectoriels normés......Page 322
1.2 Espaces métriques......Page 332
1.3 Parties bornées et applications lipschitziennes......Page 337
2.1 Suites et séries convergentes......Page 345
2.2 Valeurs d'adhérence......Page 347
2.3 Relations de comparaison......Page 348
3.1 Voisinages et ouverts......Page 350
3.2 Fermés......Page 353
3.3 Intérieur, adhérence et frontière d'une partie......Page 355
3.4 Topologie d'un sous-espace métrique......Page 362
4.1 Limite et continuité en un point......Page 365
4.2 Relations de comparaison......Page 373
4.3 Continuité......Page 374
4.5 Applications linéaires continues......Page 379
4.6 Normes équivalentes......Page 386
1.1 Suites de Cauchy......Page 394
1.2 Espaces métriques complets......Page 397
1.3 Espaces de Banach......Page 400
1.4 Applications à valeurs dans un espace complet......Page 409
2.1 Définition......Page 412
2.2 Propriétés des espaces métriques compacts......Page 420
2.3 Applications continues sur un compact......Page 423
3.1 Arcs et connexité par arcs......Page 425
3.2 Propriétés des espaces connexes par arcs......Page 427
4.1 Complétude des espaces vectoriels normés de dimension finie......Page 430
4.2 Applications linéaires......Page 431
4.3 Parties compactes d'un espace vectoriel normé de dimension finie......Page 433
4.4 Équivalence des normes en dimension finie......Page 435
5. Espaces d'applications linéaires continues......Page 436
5.1 Espace vectoriel normé des applications linéaires continues......Page 437
5.2 Cas des espaces de dimension finie......Page 441
5.3 Suite équilipschitzienne d'applications linéaires......Page 444
1.1 Différents modes de convergence......Page 454
1.2 Espace des applications bornées sur A......Page 459
1.3 Conservation des propriétés par convergence uniforme......Page 461
1.4 Le théorème de Dini (Hors programme)......Page 463
2.1 Les fonctions continues par morceaux......Page 464
2.2 Les fonctions affines par morceaux......Page 466
2.3 Théorème de Weierstrass......Page 467
3. Séries de fonctions......Page 469
3.1 Différents modes de convergence......Page 470
3.2 Conservation des propriétés par convergence uniforme......Page 477
13 Intégration sur un segment......Page 488
1.2 Intégrale d'une fonction continue par morceaux......Page 489
2.1 Inégalité triangulaire......Page 491
2.2 Invariance par translation......Page 492
2.3 Image par une application linéaire......Page 493
2.4 Additivité par rapport à l'intervalle d'intégration......Page 494
2.5 Cas des fonctions réelles : positivité, croissance......Page 495
2.6 Inégalité de la moyenne......Page 497
2.7 Sommes de riemann......Page 498
2.8 Notation......Page 499
3.1 Norme de la convergence en moyenne......Page 501
3.2 Intégration sur un segment d'une suite de fonctions continues......Page 502
3.3 Intégration terme à terme d'une série......Page 505
3.4 Approximation en moyenne d'une fonction continue par morceaux......Page 507
3.5 Norme de la convergence en moyenne quadratique......Page 509
3.6 Continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre......Page 511
14 Dérivation et intégration......Page 516
1.1 Dérivée en un point......Page 517
1.2 Caractérisation des fonctions constantes......Page 518
1.3 Fonctions de classe C1......Page 519
1.4 Fonctions de classe Ck......Page 522
1.5 Fonctions de classe Ck par morceaux......Page 524
2.2 Théorème fondamental......Page 526
2.3 Cas des fonctions continues par morceaux......Page 527
2.4 Inégalité des accroissements finis......Page 529
2.5 Théorème du relèvement......Page 532
3. Calcul d'intégrales......Page 534
3.1 Intégration par parties......Page 535
3.2 Changement de variable......Page 536
4.1 Formule de taylor avec reste intégral......Page 538
4.2 Inégalité de taylor-lagrange......Page 539
4.4 Formule de taylor-young......Page 540
5.1 Primitivation et dérivation d'une limite......Page 541
5.2 Dérivation sous le signe de l'intégrale......Page 545
5.3 Théorème de fubini......Page 550
1.1 Définition......Page 556
1.2 Conditions d'intégrabilité......Page 559
1.3 Utilisation des séries......Page 564
2.1 Intégrabilité......Page 566
2.2 Intégrale des fonctions sommables......Page 568
2.3 Propriétés de l'intégrale......Page 570
2.4 Calcul d'une intégrale......Page 572
2.5 Intégration des relations de comparaison......Page 575
2.6 Convergence en moyenne et en moyenne quadratique......Page 579
3.1 Convergence uniforme......Page 584
3.2 Convergence monotone......Page 585
3.3 Convergence dominée......Page 591
4.1 Continuité sous le signe de l'intégrale......Page 594
4.2 Dérivation sous le signe de l'intégrale......Page 596
4.3 Un exemple : la fonction gamma......Page 600
5.1 Approximation par des fonctions continues......Page 603
5.2 Théorème de convergence monotone......Page 604
5.3 Théorème de convergence dominée......Page 606
16 Familles sommables......Page 618
1.1 Définition, cas des suites......Page 619
1.2 Propriétés......Page 621
1.3 Suites doubles......Page 627
2.1 L'espace l1(I,F)......Page 628
2.2 Cas des familles à support fini......Page 629
2.3 Somme d'une famille sommable......Page 630
2.4 Propriétés......Page 631
2.5 Calcul d'une somme......Page 635
2.6 Les espaces l1(I,F) et l2(I,C)......Page 639
3.1 Produit de Cauchy de deux séries......Page 642
3.2 Support d'une famille sommable......Page 643
1.1 Définition d'une série entière......Page 654
2.1 Rayon de convergence d'une série entière......Page 655
2.2 Convergence uniforme et séries entières......Page 663
3.1 Continuité de la fonction somme......Page 664
3.2 Intégration de la fonction somme......Page 665
3.3 Dérivabilité de la fonction somme......Page 666
3.4 Problèmes sur le bord......Page 667
4.1 Séries entières complexes......Page 670
4.2 Séries entières réelles......Page 678
5.1 Généralités......Page 682
5.2 Opérations sur les fonctions développables en série entière......Page 687
5.3 Méthode de l'équation différentielle......Page 689
III Analyse 2......Page 700
1.1 Formes sesquilinéaires......Page 702
1.2 Produit scalaire, espaces préhilbertiens......Page 704
1.3 Norme......Page 707
1.4 Orthogonalité......Page 711
2.1 Bases orthonormées......Page 719
2.2 Calculs dans une base orthonormée......Page 721
2.3 Relation entre l'espace et son dual......Page 722
2.4 Arcs paramétrés d'un espace euclidien......Page 723
3.1 Supplémentaire orthogonal......Page 726
3.2 Distance à un sous-espace......Page 727
3.3 Inégalité de bessel......Page 728
3.4 Égalité de parseval-bessel......Page 729
IV Analyse 3......Page 836
1.1 Dérivée suivant un vecteur......Page 838
1.2 Applications différentiables......Page 841
1.3 Applications continûment différentiables......Page 846
1.4 Caractérisation des applications continûment différentiables par leurs dérivées partielles......Page 848
1.1 Adjoint d'un endomorphisme......Page 738
1.2 Endomorphismes symétriques......Page 742
1.3 Endomorphismes orthogonaux......Page 747
1.4 Réduction des endomorphismes symétriques......Page 754
1.5 Réduction des endomorphismes normaux......Page 761
2.1 Adjoint d'un endomorphisme......Page 764
2.2 Endomorphismes hermitiens......Page 767
2.3 Endomorphismes unitaires......Page 770
2.4 Réduction des endomorphismes hermitiens......Page 773
2.5 Réduction des endomorphismes normaux......Page 777
1.1 Espaces de fonctions périodiques......Page 784
1.2 Produit scalaire et semi-normes usuelles......Page 788
1.3 Fonctions exponentielles et polynômes trigonométriques......Page 790
1.4 Séries trigonométriques......Page 794
2.1 Coefficients, sommes et série de Fourier......Page 798
2.2 Propriétés des coefficients de Fourier......Page 800
2.3 Inégalité de Bessel......Page 805
3.1 Théorème de Dirichlet......Page 807
3.2 Convergence normale de la série de Fourier d'une fonction continue et continûment dérivable par morceaux......Page 812
3.3 Théorème de Fejér......Page 817
4.1 Espace des fonctions périodiques continues......Page 821
4.2 Espace des fonctions périodiques continues par morceaux......Page 826
2.1 Applications linéaires et bilinéaires......Page 852
2.2 Applications d'une variable réelle......Page 853
2.3 Applications à valeurs réelles......Page 854
3.1 Composition......Page 855
3.2 Propriétés algébriques......Page 861
4.1 Formules des accroissements finis......Page 865
4.3 Point critique d'une application numérique......Page 867
5.1 Applications de classe Ck......Page 869
5.2 Théorème de Schwarz......Page 873
5.3 Développement de Taylor......Page 880
5.4 Condition suffisante d'extremum local......Page 881
1.1 Difféomorphismes et applications étales......Page 890
1.2 Théorème d'inversion locale......Page 891
1.3 Caractérisation globale des difféomorphismes......Page 895
1.4 Transformation des opérateurs différentiels linéaires par difféomorphisme......Page 897
2.1 Théorème des fonctions implicites......Page 904
2.2 Courbes planes......Page 910
2.3 Courbes et surfaces de l'espace......Page 911
3.1 Définitions......Page 918
3.2 Intégrale curviligne d'une forme différentielle......Page 920
3.3 Formes exactes et fermées......Page 924
23 Équations différentielles : cas linéaire......Page 938
1.1 Définitions et propriétés élémentaires......Page 939
1.2 Théorème de Cauchy-Lipschitz......Page 942
1.3 Espace des solutions de l'équation homogène......Page 948
1.4 Espace des solutions de l'équation complète......Page 951
2.1 Espace des solutions de l'équation homogène......Page 954
2.2 Espace des solutions de l'équation complète......Page 961
2.3 Méthodes pratiques de résolution......Page 962
3.1 Définitions......Page 967
3.2 Théorème de cauchy-lipschitz......Page 969
3.3 Espace des solutions de l'équation homogène......Page 971
3.4 Espace des solutions de l'équation complète......Page 980
3.5 Équations à coefficients constants......Page 984
1.1 Solutions d'une équation différentielle......Page 996
1.2 Démonstration du théorème de cauchy-lipschitz......Page 1000
1.3 Propriétés géométriques élémentaires des solutions......Page 1005
1.4 Propriétés topologiques des solutions......Page 1008
2.1 Solution d'une équation différentielle......Page 1014
2.2 Théorème de cauchy......Page 1015
2.3 Équations différentielles particulières......Page 1017
1.1 Définitions......Page 1030
1.2 Équation réduite et quadriques propres......Page 1031
2. Quadriques propres à centres......Page 1035
2.1 Quadriques propres de rang deux......Page 1043
2.2 Quadriques impropres......Page 1048
Solutions des exercices......Page 1053
Index......Page 1464