Cours de topologie

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PROGRAMME DE TOPOLOGIE DU CERTIFICAT DE C 1
AVERTISSEMENT
CHAPITRE I. - Espaces topologiques et espaces métriques
Introduction
I. - Topologie de la droite R
	1. Ouverts, fermés, voisinages, bornes d'un ensemble
	2. Limite d'une suite. Critère de convergence de Cauchy
	3. Compacité des intervalles fermés bornés
	4. Topologie de l'espace R^n
II. - Espaces topologiques
	5. Ensembles ouverts, ensembles fermés, voisinages
	6. Fermeture, intérieur, frontière
	7. Fonctions continues. Homéomorphies
	8. Notion de limite
	9. Sous-espaces d'un espace topologique
	10. Produit fini d'espaces
	11. Espaces compacts
	12. Espaces localement compacts ; compactification
	13. Connexité
	14. Groupes, anneaux et corps topologiques
III. - Espaces métriques
	15. Distances et écarts
	16. Topologie d'un espace métrique
	17. Continuité uniforme
	18. Espaces métriques compacts
	19. Espaces métriques connexes
	20. Suites de Cauchy et espaces complets
	21. Schéma de la méthode des approximations successives
	22. Convergence simple et convergence uniforme
	23. Espaces de fonctions également continues
	24. Variation totale et longueur
IV. - Exercices et indices
	La droite R et l'espace R^n
	Espaces topologiques
	Espaces métriques
	V. - Index terminologique du chapitre V
	VI. - Bibliographie
	VII. - Définitions et axiomes
	VIII. - Rappel de notations classiques
CHAPITRE II. - Fonctions numériques
I. - Fonctions numériques définies sur un ensemble quelconque
	1. Relation d'ordre sur F(E,R) et sur F(E,-^R)
	2. Bornes d'une fonction numérique
	3. Enveloppes supérieure et inférieure d'une famille de fonctions
II. - Notions de limite associées aux fonctions numériques
	4. Limites supérieure et inférieure d'une fonction suivant une base de filtre sur E
	5. Limites supérieure et inférieure d'une famille de fonctions
	6. Opérations sur les fonctions continues
III. - Fonctions numériques semi-continues
	7. Semi-continuité en un point
	8. Fonctions semi-continues inférieurement dans tout l'espace
	9. Construction de fonctions semi-continues inférieurement
	10. Fonctions semi-continues sur un espace compact
	Il. Semi-continuité de la longueur
IV. - Le théorème de Stone-Weierstrass (12)
V. - Fonctions définies sur un intervalle de R
	13. Limites à gauche et à droite
	14. Fonctions monotones
	15. Théorèmes des accroissements finis
	16. Définition des fonctions convexes. Propriétés immédiates
	17. Continuité et dérivabilité des fonctions convexes
	18. Critères de convexité
	19. Fonctions convexes sur une partie d'un espace vectoriel
	20. Moyenne relative à une fonction monotone
VI. - Exercices et indices
	Fonctions numériques définies sur un ensemble quelconque
	Fonctions numériques définies sur un espace topologique
	Fonctions numériques semi-continues
	Théorème de Stone-Weierstrass
	Fonctions définies sur un intervalle
	Fonctions convexes
	Moyennes et inégalités
	VII. - Index terminologique du chapitre VI
	VIII. - Bibliographie
	IX. - Définitions et axiomes
CHAPITRE III. - Espaces vectoriels topologiques
I. - Espaces vectoriels topologiques généraux. Exemples
	1. Définitions et propriétés élémentaires des espaces vectoriels topologiques
	2. Topologie associée à une famille de semi-normes
	3. Exemples classiques d'espaces vectoriels topologiques
II. - Espaces normés
	4. Topologie associée à une norme; applications linéaires continues
	5. Stabilité des isomorphismes
	6. Produit d'espaces normés; applications multilinéaires continues
	7. Espaces normés de dimension finie
III. - Familles sommables ; séries, produits infini; algèbres normées
	8. Familles sommables de nombres réels
	9. Familles sommables dans les groupes topologiques et les espaces normés
	10. Séries ; comparaison des séries et des familles sommables
	11. Séries et familles sommables de fonctions
	12. Familles multipliables et produits infinis de nombres complexes
	13. Algèbres normées
IV. - Espaces de Hilbert
	14. Définition et propriétés élémentaires des espaces préhilbertiens
	15. Projection orthogonale. Etude du dual
	16. Systèmes orthogonaux
	17. Séries de Fourier et polynômes orthogonaux
V. - Exercices et indices
	Espaces vectoriels topologiques généraux
	Topologie associée à une famille de semi-normes
	Topologie associée à une norme
	Comparaison des normes
	Normes et fonctions convexes
	Formes linéaires sur les espaces normés
	Dual topologique et bidual
	Applications linéaires compactes
	Espaces normés complets
	Espaces normés séparables
	Applications linéaires non continues
	Produits d'espaces normés et sommes directes
	Espaces normés de dimension finie
	Familles sommables de nombres réels ou complexes
	Familles sommables dans les groupes topologiques et les espaces normés
	Séries ; comparaison des séries et des familles sommables
	Séries et familles sommables de fonctions
	Familles multipliables et produits infinis de nombres complexes
	Algèbres normées
	Propriétés élémentaires des espaces préhilbertiens
	Projection orthogonale. Etude du dual
	Systèmes orthogonaux
	Polynômes orthogonaux
	VI. - Index terminologique du chapitre VII
	VII. - Bibliographie
	VIII. - Définitions et axiomes