Cours de mathématiques du premier cycle, Deuxième année

Couverture
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ALGÈBRE
CHAPITRE XXXII. COMPLÉMENTS SUR LES GROUPES
	32.1. Sous-groupes distingués
	32.2. Décomposition canonique d\'un homomorphisme
	32.3. Automorphismes d\'un groupe
CHAPITRE XXXIII. RÉDUCTION DES MATRICES
	33.1. Vecteurs propres ct valeurs propres
	33.2. Polynôme caractéristique
	33.3. Relations entre le polynôme caractéristique et les valeurs propres
	33.4. Cas où le corps de base est le corps des nombres complexes
	33.5. Théorème de Hamilton-Cayley. Applications
CHAPITRE XXXIV. FORMES MULTILINÉAIRES
	34.1. L\'espace vectoriel des formes p-linéaires
	34.2. Image réciproque par une application linéaire
CHAPITRE XXXV. FORMES BILINÉAIRES SYMÉTRIQUES
	35.1. Formes bilinéaires symétriques
	35.2. Formes quadratiques
	35.3. Orthogonalité
	35.4. Formes non dégénérées
	35.5. Relations avec la notion d\'orthogonalité du chapitre VIII
	35.6. Bases orthogonales
	35.7. Cas où le corps de base est le corps des nombres complexes
	35.8. Cas où le corps de base est le corps des nombres réels
	35.9. Adjointe
	35.10. Groupe orthogonal
	35.11. Matrices orthogonales
	35.12. Applications linéaires symétriques
CHAPITRE XXXVI. FORMES HERMITIENNES
	36.1. Formes hermitiennes
	36.2. Orthogonalité
	36.3. Bases orthogonales
	36.4. Espaces préhilbertiens
	36.5. Adjointe
	36.6. Groupe unitaire
	36.7. Applications linéaires hermitiennes
	36.8. Retour aux applications linéaires symétriques
	36.9. Étude simultanée de deux formes quadratiques
CHAPITRE XXXVII. FORMES MULTILINÉAIRES ALTERNÉES
	37.1. Antisymétrisation
	37.2. Produit extérieur de formes alternées
	37.3. Formes bilinéaires alternées
	37.4. Cas de l\'espace ordinaire orienté
ANALYSE
CHAPITRE XXXVIII. GÉNÉRALISATION DE L\'INTÉGRALE
	38.1. Intégrales dans des intervalles non bornés
	38.2. Intégrales de fonctions non bornées
	38.3. La fonction Γ
CHAPITRE XXXIX. SÉRIES
	39.1. Définitions et premières propriétés
	39.2. Séries à termes positifs
	39.3. Critère de Cauchy pour les séries
	39.4. Séries absolument convergentes
	39.5. Multiplication des séries
	39.6. Séries alternées
	39.7. Séries de fonctions
	39.8. Propriétés des limites uniformes de suites
	39.9. Propriétés des séries uniformément convergentes
CHAPITRE XL. SÉRIES ENTIÈRES
	40.1. Rayon de convergence
	40.2. Somme, produit de deux séries entières
	40.3. Dérivation, intégration d\'une série entière
	40.4. Série de Maclaurin
	40.5. Développement en série entière de fonctions usuelles
	40.6. Étude du nombre e
CHAPITRE XLI. FONCTION EXPONENTIELLE COMPLEXE
	41.1. Définitions et premières propriétés
	41.2. Formule d\'addition
	41.3. Partie réelle, partie imaginaire, module, argument de e
	41.4. Dérivée, primitives de e^{rx}
	41.5. Applications à la trigonométrie
	41.6. Logarithmes d\'un nombre complexe
CHAPITRE XLII. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
	42.1. Définition
	42.2. Convergence d\'une série trigonométrique
	42.3. Continuité, dérivation, intégration d\'une série trigonométrique
	42.4. Série de Fourier
	42.5. Exemple de recherche d\'une série de Fourier
CHAPITRE XLIII. EXPONENTIELLE D\'UNE MATRICE
	43.1. Séries de vecteurs
	43.2. Séries de matrices
	43.3. Exponentielle d\'une matrice
	43.4. Calcul de l\'exponentielle d\'une matrice
CHAPITRE XLIV. SYSTÈMES D\'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE
	44.1. Généralités
	44.2. Systèmes différentiels linéaires
	44.3. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants
CHAPITRE XLV. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D\'ORDRE SUPÉRIEUR
	45.1. Généralités
	45.2. Équations différentiel1es linéaires d\'ordre p
	45.3. Équations différentielles linéaires d\'ordre p à coefficients constants
CHAPITRE XLVI. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS CONTINUES DE PLUSIEURS VARIABLES RÉELLES
	46.1. Fonctions continues sur un ensemble compact
	46.2. Appiication: démonstration du théorème de d\'Alembert-Gauss
	46.3. Fonctions continues sur un ensemble connexe
CHAPITRE XLVII. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES
	47.1. Définition des applications différentiables
	47.2. Critères pratiques
	47.3. Différentielle d\'une application composée
	47.4. Difféomorphismes
	47.5. Immersions, submersions
	47.6. Sous-variétés
	47.7. Espace tangent à une sous-variété
	47.8. Sous-variétés orientées
CHAPITRE XLVIII. FORMES DIFFÉRENTIELLES
	48.1. Formes différentielles de degré 1
	48.2. Formes difTérentiel1es de degré p
	48.3. Dérivée extérieure d\'une forme différentiel1e
	48.4. Primitives d\'une forme différentielle
	48.5. Image réciproque d\'une forme différentielle par une application
	48.6. Formes différentielles dans un espace affine
	48.7. Champs de vecteurs
CHAPITRE IL. INTÉGRALES MULTIPLES
	49.1. Ensembles boréliens dans R^n
	49.2. Fonctions boréliennes
	49.3. Intégrale des fonctions boréliennes: élémentaires positives
	49.4. Intégrale des fonctions boréliennes positives
	49.5. Intégrale des fonctions boréliennes quelconques
	49.6. Intégration dans un ensemble
	49.7. Réduction des intégrales multiples aux intégrales simples
	49.8. Exemples de calcul
	49.9. Calcul des aires, des volumes
	49.10. Changement de variables
	49.11. Passage en coordonnées polaires
CHAPITRE L. INTÉGRALES DES FORMES DIFFÉRENTIELLES
	50.1. Intégrale d\'une forme différentielle relativement à une application
	50.2. Généralisation
	50.3. Intégrale d\'une forme différentielle sur une sous-variété orientée
	50.4. Travail et flux d\'un champ de vecteurs
CHAPITRE LI. FORMULE DE STOKES
	51.1. Bord
	51.2. Bord orienté
	51.3. Formule de Stokes
CHAPITRE LII. FONCTIONS HOLOMORPHES
	52.1. Définition et premiers exemples
	52.2. Fonctions holomorphes définies par des séries entières et des séries de Laurent
	52.3. Autres définitions de l\'holomorphie
	52.4. Primitive d\'une fonction holomorphe
	52.5. Fonction réciproque d\'une fonction holomorphe
	52.6. Formule de Cauchy
	52.7. Analyticité des fonctions holomorphes
	52.8. Résidus
GÉOMÉTRIE
CHAPITRE LIII. LONGUEUR D\'UNE COURBE
	53.1. Définition de la longueur
	53.2. Abscisse curviligne
	53.3. Champs de formes quadratiques
	53.4. Relations avec la notion de longueur
	53.5. Abscisse curviligne sur une sous-variété orientée de dimension 1
CHAPITRE LIV. COURBURE
	54.1. Vecteur rotation
	54.2. Formules de Frenet
	54.3. Recherche pratique du centre de courbure
CHAPITRE LV. COURBES ET SURFACES DU SECOND DEGRÉ
	55.1. Ensembles algébriques
	55.2. Ensembles algébriques définis par une équation du second degré
	55.3. Ensembles algébriques dans le plan définis par une équation du second degré
	55.4. Cônes du second degré
	55.5 Ensembles algébriques dans l\'espace défini par une équation du second degré
Exercices
Quelques suggestions et réponses
Index des notations
Index terminologique