Convexity and Duality in Optimization: Proceedings of the Symposium on Convexity and Duality in Optimization Held at the University of Groningen, The Netherlands June 22, 1984

تحلیل و بهینه سازی توابع محدب در طول دو دهه اخیر توجه زیادی را به خود جلب کرده است. اگر مجبور بودیم دو کلمه کلیدی را از میان این تحولات انتخاب کنیم، مفهوم ~ubdi66~e~ و نظریه دوگانگی را حفظ خواهیم کرد. طبق معمول در توسعه تئوری‌های ریاضی، مردم از آن زمان سعی کردند تعاریف و ویژگی‌های شناخته شده را به کلاس‌های جدیدی از توابع، از جمله توابع محدب، گسترش دهند. برای آنچه که مربوط به تعمیم مفهوم فرعی است، دستاوردهای شگرفی در دهه گذشته انجام شده است و هر موضوع‌پردازی که با یک تابع غیرمحدب غیرقابل تمایز مواجه می‌شود، اکنون مجموعه‌ای از زیرمجموعه‌ها یا مشتقات تعمیم یافته را در اختیار دارد. کارهای زیادی باید در این زمینه انجام شود، به خصوص در مورد توابع با ارزش برداری. با این حال فکر می کنیم دوران طلایی این تحقیقات پشت سر ماست. نظریه دوگانگی همچنین بسیاری از ریاضیدانان را مجذوب خود کرده است زیرا چارچوب ریاضی زیربنایی در چارچوب تحلیل محدب تنظیم شده است. طرح‌های دوگانگی مختلفی که در سال‌های اخیر پدیدار شده‌اند، علی‌رغم ظرافت ریاضی‌شان، همیشه آن‌طور که انتظار می‌رفت قدرتمند نبوده‌اند.

The analysis and optimization of convex functions have re­ ceived a great deal of attention during the last two decades. If we had to choose two key-words from these developments, we would retain the concept of ~ubdi66~e~ and the duality theo~y. As it usual in the development of mathematical theories, people had since tried to extend the known defi­ nitions and properties to new classes of functions, including the convex ones. For what concerns the generalization of the notion of subdifferential, tremendous achievements have been carried out in the past decade and any rna·· thematician who is faced with a nondifferentiable nonconvex function has now a panoply of generalized subdifferentials or derivatives at his disposal. A lot remains to be done in this area, especially concerning vecto~-valued functions ; however we think the golden age for these researches is behind us. Duality theory has also fascinated many mathematicians since the underlying mathematical framework has been laid down in the context of Convex Analysis. The various duality schemes which have emerged in the re­ cent years, despite of their mathematical elegance, have not always proved as powerful as expected.