Convex Integration Theory: Solutions to the h-principle in geometry and topology

این کتاب مطالعه جامعی از نظریه ادغام محدب در توپولوژی غوطه وری-نظری ارائه می دهد. نظریه ادغام محدب، که در اصل توسط M. Gromov توسعه یافته است، روش های توپولوژیکی عمومی را برای حل اصل h برای طیف گسترده ای از مسائل در هندسه دیفرانسیل و توپولوژی، با کاربردهایی نیز در تئوری PDE و کنترل بهینه ارائه می دهد. تئوری. اگرچه این نظریه ماهیت توپولوژیکی دارد، اما این نظریه مبتنی بر یک نتیجه تقریب تحلیلی دقیق برای مشتقات مرتبه بالاتر توابع است که توسط M. Gromov ثابت شده است. این کتاب اولین کتابی است که رکورد دقیق و توضیحی از تمام مفاهیم اساسی و نتایج فنی نظریه ادغام محدب در فضاهای جت مرتبه بالاتر، از جمله نظریه امتداد بدنه محدب تکراری و نظریه نسبی h ارائه می کند. i> -اصول. ویژگی دوم کتاب، ارائه دقیق کاربردهای تئوری عمومی در موضوعات توپولوژی سمپلتیک، میدان‌های برداری بدون واگرایی در 3 منیفولد، غوطه‌وری ایزومتریک، تعبیه‌های کاملاً واقعی، سیستم‌های غیرخطی غیرخطی PDEها، قضیه آرامش در تئوری کنترل بهینه، و همچنین کاربردهایی در موضوعات تئوری غوطه وری سنتی مانند غوطه وری، غوطه وری، غوطه وری k و نقشه های رایگان.

این کتاب باید برای دانشجویان فارغ التحصیل و برای محققان توپولوژی، نظریه PDE و نظریه کنترل بهینه که مایل به درک اصل h و چگونه می توان از آن برای حل مسائل در رشته های مربوطه استفاده کرد.

------ نظرات

اولین هشت فصل از تک نگاری اسپرینگ حاوی شرح مفصلی از نظریه ادغام محدب برای روابط باز و گسترده با اثبات های دقیق است که اغلب در کتاب گروموف حذف شده است. (...) کتاب اسپرینگ هیچ تلاشی برای گنجاندن همه موضوعات از نظریه ادغام محدب یا کشف همه جواهرات در گزارش بنیادی گروموف انجام نمی دهد، اما با این وجود (یا دقیقاً به همین دلیل) جای خود را به عنوان مرجع استاندارد برای نظریه بعدی خواهد گرفت. به تک نگاری عظیم گروموف و باید برای هر کسی که مایل به یادگیری این نظریه به روشی سیستماتیک تر است، ضروری باشد.

- بررسی های ریاضی

این جلد مطالعه جامعی از نظریه ادغام محدب ارائه می دهد. (...) ما این کتاب را به گرمی به همه علاقه مندان به توپولوژی دیفرانسیل، توپولوژی ترکیبی و نظریه کنترل بهینه توصیه می کنیم.

- Matematica

This book provides a comprehensive study of convex integration theory in immersion-theoretic topology. Convex integration theory, developed originally by M. Gromov, provides general topological methods for solving the h-principle for a wide variety of problems in differential geometry and topology, with applications also to PDE theory and to optimal control theory. Though topological in nature, the theory is based on a precise analytical approximation result for higher order derivatives of functions, proved by M. Gromov. This book is the first to present an exacting record and exposition of all of the basic concepts and technical results of convex integration theory in higher order jet spaces, including the theory of iterated convex hull extensions and the theory of relative h-principles. A second feature of the book is its detailed presentation of applications of the general theory to topics in symplectic topology, divergence free vector fields on 3-manifolds, isometric immersions, totally real embeddings, underdetermined non-linear systems of PDEs, the relaxation theorem in optimal control theory, as well as applications to the traditional immersion-theoretical topics such as immersions, submersions, k-mersions and free maps.

The book should prove useful to graduate students and to researchers in topology, PDE theory and optimal control theory who wish to understand the h-principle and how it can be applied to solve problems in their respective disciplines.

------ Reviews

The first eight chapters of Spring’s monograph contain a detailed exposition of convex integration theory for open and ample relations with detailed proofs that were often omitted in Gromov’s book. (…) Spring’s book makes no attempt to include all topics from convex integration theory or to uncover all of the gems in Gromov’s fundamental account, but it will nonetheless (or precisely for that reason) take its place as a standard reference for the theory next to Gromov’s towering monograph and should prove indispensable for anyone wishing to learn about the theory in a more systematic way.

- Mathematical Reviews

This volume provides a comprehensive study of convex integration theory. (…) We recommended the book warmly to all interested in differential topology, symplectic topology and optimal control theory.

- Matematica