Convex Integration Theory: Solutions to the h-principle in geometry and topology

§1. اظهارات تاریخی نظریه ادغام محدب، که برای اولین بار توسط M. Gromov [17] معرفی شد، یکی از سه روش عمومی در توپولوژی تئوری غوطه وری برای حل طیف وسیعی از مسائل در هندسه و توپولوژی است. روش های دیگر عبارتند از: (1) حذف تکینگی ها، معرفی شده توسط M. Gromov و Y. Eliashberg [8]. (2) روش هموتوپی پوششی که به پیروی از تز M. Gromov [16]، به عنوان روش شیو نیز نامیده می شود. روش هموتوپی پوششی در اصل به دلیل S. Smale [36] است که یک نتیجه هموتوپی پوششی مهم را به منظور حل مسئله طبقه بندی برای غوطه ور شدن کره ها در فضای اقلیدسی ثابت کرد. این روش‌های کلی ارتباط خطی ندارند، به این معنا که روش‌های متوالی زیرمجموعه روش‌های قبلی هستند. هر روش مبانی متمایز خود را دارد که بر اساس بینش هندسی یا تحلیلی مستقل است. در نتیجه، هر روش دارای طیف وسیعی از کاربردها برای مسائل توپولوژی است که به بهترین وجه برای بینش خاص آن مناسب است. به عنوان مثال، یک ویژگی متمایز نظریه ادغام محدب این است که برای حل روابط بسته در فضاهای جت، از جمله کلاس‌های کلی معینی از سیستم‌های غیرخطی معادلات دیفرانسیل جزئی به کار می‌رود. به عنوان یک مورد مورد علاقه، قضیه غوطه وری کل ایزومتریک Nash-Kuiper با استفاده از تئوری ادغام محدب مجدداً فرموله شده و ثابت می شود (به گروموف [18] مراجعه کنید). با دو روش دیگر نمی توان چنین نتایجی را در مورد روابط بسته در جت اسپایز اثبات کرد.

§1. Historical Remarks Convex Integration theory, first introduced by M. Gromov [17], is one of three general methods in immersion-theoretic topology for solving a broad range of problems in geometry and topology. The other methods are: (i) Removal of Singularities, introduced by M. Gromov and Y. Eliashberg [8]; (ii) the covering homotopy method which, following M. Gromov's thesis [16], is also referred to as the method of sheaves. The covering homotopy method is due originally to S. Smale [36] who proved a crucial covering homotopy result in order to solve the classification problem for immersions of spheres in Euclidean space. These general methods are not linearly related in the sense that succes­ sive methods subsumed the previous methods. Each method has its own distinct foundation, based on an independent geometrical or analytical insight. Conse­ quently, each method has a range of applications to problems in topology that are best suited to its particular insight. For example, a distinguishing feature of Convex Integration theory is that it applies to solve closed relations in jet spaces, including certain general classes of underdetermined non-linear systems of par­ tial differential equations. As a case of interest, the Nash-Kuiper Cl-isometrie immersion theorem ean be reformulated and proved using Convex Integration theory (cf. Gromov [18]). No such results on closed relations in jet spaees can be proved by means of the other two methods.